Question

【題目】如圖1，反比例函數(shù)(k>0)圖象經(jīng)過(guò)等邊△OAB的一個(gè)頂點(diǎn)B，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸，垂足為M．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和k的值；

（2）若將△ABM沿直線(xiàn)AB翻折，得到△ABM'，判斷該反比例函數(shù)圖象是從點(diǎn)M'的上方經(jīng)過(guò)，還是從點(diǎn)M'的下方經(jīng)過(guò)，又或是恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M'，并說(shuō)明理由；

（3）如圖2，在x軸上取一點(diǎn)A1，以AA1為邊長(zhǎng)作等邊△AA1B1，恰好使點(diǎn)B1落在該反比例函數(shù)圖象上，連接BB1，求△ABB1的面積．

Answer 1

【答案】（1）k＝；（2）該反比例函數(shù)圖象是從點(diǎn)M'的下方經(jīng)過(guò)；理由見(jiàn)解析；（3）△ABB1的面積為.

【解析】

（1）由△OAB為等邊三角形及OA＝2，可得出OM，BM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出k的值；

（2）過(guò)點(diǎn)M′作M′C⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，由折疊的性質(zhì)，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，在Rt△ACM′中，通過(guò)解直角三角形可求出AC，CM′的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出OC的長(zhǎng)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出反比例函數(shù)圖象與直線(xiàn)CM′交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，將其與點(diǎn)M′的縱坐標(biāo)比較后即可得出結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)B1作B1D⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，設(shè)AA1＝a，則AD＝a，B1D＝a，OD＝2＋a，進(jìn)而可得出點(diǎn)B1的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出a的值，進(jìn)而可得出MD，B1D，AD的長(zhǎng)，再結(jié)合S△ABB1＝S梯形BMDB1S△BMAS△ADB1即可求出△ABB1的面積．

（1）∵△OAB為等邊三角形，OA＝2，

∴OM＝OA＝1，BM＝OA＝，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，）．

∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

∴k＝．

（2）該反比例函數(shù)圖象是從點(diǎn)M'的下方經(jīng)過(guò)，理由如下：

過(guò)點(diǎn)M′作M′C⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，如圖1所示．

由折疊的性質(zhì)，可知：AM′＝AM＝1，∠BAM′＝∠BAM＝60°，

∴∠M′AC＝180°﹣∠BAM﹣∠BAM′＝60°．

在Rt△ACM′中，AM′＝1，∠ACM′＝90°，∠M′AC＝60°，

∴∠AM′C＝30°，

∴AC＝AM′＝，CM′＝AM′＝．

∴OC＝OA+AC＝，

∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（，）．

當(dāng)x＝時(shí)，，

∵＜，

∴該反比例函數(shù)圖象是從點(diǎn)M'的下方經(jīng)過(guò)．

（3）過(guò)點(diǎn)B1作B1D⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，如圖2所示．

設(shè)AA1＝a，則AD＝a，B1D＝a，OD＝2+a，

∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（2+a，a）．

∵點(diǎn)B1在該反比例函數(shù)的圖象上，

∴（2+a）a＝，

解得：a1＝﹣2﹣2（舍去），a2＝2﹣2，

∴MD＝AM+AD＝，B1D＝a＝﹣，AD＝a＝﹣1，

∴S△ABB1＝S梯形BMDB1S△BMAS△ADB1

＝（BM+B1D）MD﹣BMAM﹣B1DAD，

，

.