Question

小明參加汽車駕駛培訓(xùn)，在實(shí)際操作考試時(shí)，被要求進(jìn)行啟動加速、勻速運(yùn)行、制動減速三個(gè)連貫過程，在加速和減速運(yùn)動過程中，路程和速度均滿足關(guān)系s=v0t+

1

2

at2，v₀為加速或減速的起始速度，加速時(shí)a為正，減速時(shí)a為負(fù)，勻速時(shí)a=0，加速或減速t秒后的瞬時(shí)速度v=v₀+at，小明在操作中瞬時(shí)速度v與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，其中OA為勻加速，AB為勻速，BC為勻減速．
（1）若減速過程與加速過程完全相反，即BC與OA關(guān)于AB的中垂線成軸對稱，求BC的解析式．
（2）當(dāng)0≤t≤300時(shí)，求汽車行駛的路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）汽車行駛t秒后，
①若經(jīng)途中D點(diǎn)，過點(diǎn)D作垂線交AB于點(diǎn)E，試證明汽車行駛的路程恰等于四邊形OAED的面積．
②若汽車行駛至M點(diǎn)，過點(diǎn)M做垂線交BC于點(diǎn)N，汽車行駛的路程是否等于五邊形OABNM的面積呢？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再設(shè)BC的解析式為y=kt+b，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可；
（2）先根據(jù)200秒時(shí)的瞬時(shí)速度求出a，再分0≤t≤200時(shí)，為勻加速運(yùn)動，200＜t≤300時(shí)為勻速運(yùn)動兩段分別進(jìn)行求解即可；
（3）①根據(jù)（2）求出行駛的路程，再求出AE、OD的長，然后利用梯形的面積公式列式計(jì)算，即可得證；
②先求出運(yùn)動至點(diǎn)M時(shí)的路程，再根據(jù)瞬時(shí)速度公式求出運(yùn)動至點(diǎn)M時(shí)的速度，然后根據(jù)五邊形OABNM的面積等于兩個(gè)梯形的面積之和求出五邊形的面積，即可得解．

解答：（1）解：∵BC與OA關(guān)于AB的中垂線成軸對稱，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（500，0），
設(shè)BC的解析式為y=kt+b，
把點(diǎn)B（300，120），（500，0）代入得，

300k+b=120 500k+b=0

，
解得

k=- 3 5 b=300

，
所以，BC的解析式為y=-

3

5

t+300（300≤t≤500）；

（2）解：∵200秒時(shí)的速度為120，
∴0+200a=120，
解得a=0.6，
∴①0≤t≤200時(shí)，S=0•t+

1

2

at²=

1

2

×0.6×t²=0.3t²；
②200＜t≤300時(shí)，S=0.3×200²+120（t-200）=120t-12000；

（3）證明：①汽車經(jīng)途中D點(diǎn)時(shí)，S=120t-12000，
此時(shí)，AE=t-200，OD=t，
∴四邊形OAED的面積=

1

2

（t-200+t）×120=120t-12000，
∴汽車行駛的路程恰等于四邊形OAED的面積；
②∵從300秒時(shí)開始減速，
∴運(yùn)動至點(diǎn)M時(shí)，瞬時(shí)速度y=120+a（t-300），
運(yùn)動至M點(diǎn)，S=120×300-12000+120（t-300）+

1

2

a（t-300）²，
=

1

2

a（t-300）²+120（t-300）+24000，
∵AB=300-200=100，
五邊形OABNM的面積=

1

2

（100+300）×120+

1

2

[120+a（t-300）+120]×（t-300），
=24000+

1

2

a（t-300）²+120（t-300），
所以，汽車行駛的路程等于五邊形OABNM的面積．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解并列出加速時(shí)運(yùn)動的路程是解題的關(guān)鍵，要注意加速和減速運(yùn)動過程中的瞬時(shí)速度與加速和減速行駛的路程，要從開始加速和開始減速開始計(jì)時(shí)，這也是本題比較難理解的地方．