Question

已知,矩形中,,,的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、,垂足為.

   (1)如圖1,連接、.求證四邊形為菱形,并求的長；

(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿和各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)自→→→停止,點(diǎn)自→→→停止.在運(yùn)動(dòng)過程中,

①已知點(diǎn)的速度為每秒5,點(diǎn)的速度為每秒4,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,當(dāng)、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求的值.

②若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)路程分別為、(單位:,),已知、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求與滿足的數(shù)量關(guān)系式.

 

Answer 1

 (1)證明:①∵四邊形是矩形

∴∥

∴,

∵垂直平分,垂足為

∴

∴≌

∴

∴四邊形為平行四邊形

又∵

∴四邊形為菱形

②設(shè)菱形的邊長,則

在中,

由勾股定理得,解得

∴

(2)①顯然當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),點(diǎn)在上,此時(shí)、、、四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;同理點(diǎn)在上時(shí),點(diǎn)在或上,也不能構(gòu)成平行四邊形.因此只有當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形

     ∴以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),

∵點(diǎn)的速度為每秒5,點(diǎn)的速度為每秒4,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒

∴,

∴,解得

∴以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),秒.

②由題意得,以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),點(diǎn)、在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上.

分三種情況:

i)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),,即,得

ii)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),, 即,得

iii)如圖3,當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí),,即,得

綜上所述,與滿足的數(shù)量關(guān)系式是