Question

如圖，從⊙O外一點P引圓的兩條切線PA、PB，切點為A、B，點C是劣弧AB上一點，過C的切線交PA、PB分別于M、N，若⊙O的半徑為2，∠P=60°，則△PMN的周長為

1. A.
   4
2. B.
   6
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：連接OP，由圓外一點P作圓的兩條切線PA與PB，根據切線長定理得到PA=PB，且PO為角平分線，由∠APB=60°，得到∠APO=30°，再由切線的性質得到OA與AP垂直，在直角三角形APO中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由半徑OA的長求出斜邊OP的長，再利用勾股定理求出AP的長，由MA與MC為圓O的切線，根據切線長定理得到MA=MC，同理可得NB=NC，然后把三角形PMN的三邊相加表示出三角形PMN的周長，等量代換后得到其周長為2PA，把PA的長代入即可求出三角形PMN的周長．
解答：連接OP，

∵PA，PB為圓O的切線，
∴PA=PB，PO平分∠APB，OA⊥AP，
又∠APB=60°，
∴∠APO=30°，
在直角三角形APO中，OA=2，
∴OP=2OA=4，
根據勾股定理得：PA==2，
∵MA，MC為圓O的兩條切線，
∴MA=MC，
又NB，NC為圓O的切線，
∴NC=NB，
∴△PMN的周長=PM+PN+MN
=PM+PN+MC+NC
=PM+PN+MA+NB
=PA+PB=2PA
=4．
故選C
點評：此題考查了切線長定理，切線的性質，勾股定理，含30°角直角三角形的性質，利用了轉化的思想，熟練掌握切線長定理是解本題的關鍵．