Question

（2013•燕山區(qū)一模）定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意線(xiàn)段AB及點(diǎn)P，任取線(xiàn)段AB上一點(diǎn)Q，線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為點(diǎn)P到線(xiàn)段AB的距離，記作d（P→AB）．
已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（4，0），B（3，3），C（m，n），D（m+4，n）是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn)．根據(jù)上述定義，解答下列問(wèn)題：
（1）點(diǎn)A到線(xiàn)段OB的距離d（A→OB）=

2

2

；
（2）已知點(diǎn)G到線(xiàn)段OB的距離d（G→OB）=

5

，且點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1，則點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為

1-

10

或1+

10

．
（3）當(dāng)m的值變化時(shí)，點(diǎn)A到動(dòng)線(xiàn)段CD的距離d （A→CD）始終為2，線(xiàn)段CD的中點(diǎn)為M．
①在圖（2）中畫(huà)出點(diǎn)M隨線(xiàn)段CD運(yùn)動(dòng)所圍成的圖形并求出該圖形的面積．
②點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2），m＞0，n＞0，作MH⊥x軸，垂足為H．是否存在m的值，使得以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOE相似？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖（1）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于C，由B點(diǎn)的坐標(biāo)就可以得出OB平分∠x(chóng)Oy，由勾股定理就可以求出AC的值而得出結(jié)論；
（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)G₁作G₁F⊥OB于點(diǎn)F，則G₁F就是點(diǎn)G₁到線(xiàn)段OB的距離．過(guò)點(diǎn)D作G₂D⊥OB交直線(xiàn)x=1于點(diǎn)G₂，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理就可以求出結(jié)論；
（3）①如圖（3），運(yùn)用分類(lèi)討論思想，當(dāng)點(diǎn)C在以A為圓心，半徑為2的⊙A的右半圓上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C從C₁到C₂時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C從C₄到C₃時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在以A為圓心，半徑為2的⊙A的左半圓上時(shí)，點(diǎn)M在圓弧M₁FM₄上運(yùn)動(dòng)；根據(jù)圓的面積公式和矩形的面積公式就可以求出結(jié)論；
②利用分類(lèi)思想分情況討論如圖（4），當(dāng)點(diǎn)M位于左側(cè)圓弧上時(shí)，m≤0，不合題意；如圖（4），當(dāng)點(diǎn)M位于線(xiàn)段M₁M₂上時(shí)，由學(xué)生三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論，如圖（5），當(dāng)點(diǎn)M位于右側(cè)圓弧M₁FM₄上時(shí)，連結(jié)GM，其中點(diǎn)G是圓弧的圓心，坐標(biāo)為（6，0）．根據(jù)勾股定理建立方程就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）作AC⊥OB于C，
∴∠ACO=90°．
∵B（3，3），
∴OB平分∠x(chóng)Oy，
∴∠AOB=45°．
∴∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠AOC，
∴AC=OC．
∵A（4，0），
∴OA=4．
在Rt△AOC中，由勾股定理，得
AC=2

2

．
∴點(diǎn)A到線(xiàn)段OB的距離d（A→OB）=2

2

．
故答案為：2

2

；

（2）∵OB平分∠x(chóng)Oy，
∴OB的解析式為：y=x
∵點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1，
∴點(diǎn)G在直線(xiàn)x=1上，設(shè)直線(xiàn)x=1交x軸于點(diǎn)H，交OB于點(diǎn)K．
①如圖，過(guò)點(diǎn)G₁作G₁F⊥OB于點(diǎn)F，則G₁F就是點(diǎn)G₁到線(xiàn)段OB的距離．
∵OB的解析式為：y=x，
∴△G₁FK，△DHK均為等腰直角三角形，
∵d（G₁→OB）=

5

，
∴KF=

5

，由勾股定理得GK=

10

，
∵KH=OH=1，
∴HG₁=

10

+1．
即G₁的縱坐標(biāo)為

10

+1；
②如圖，過(guò)點(diǎn)D作G₂D⊥OB交直線(xiàn)x=1于點(diǎn)G₂，由題意知△DKG₂為等腰直角三角形，
∵d（G₂→OB）=

5

，
∴DK=DG₂=

5

，
∴G₂K=

10

．
∴G₂H=

10

-1
∴點(diǎn)G₂同樣是滿(mǎn)足條件的點(diǎn)．
∴點(diǎn)G₂的縱坐標(biāo)為1-

10

．
綜上，點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為1+

10

或1-

10

．

（3）①如圖（3），當(dāng)點(diǎn)C在以A為圓心，半徑為2的⊙A的右半圓上時(shí)，點(diǎn)M在圓弧M₁FM₄上運(yùn)動(dòng)；
當(dāng)點(diǎn)C從C₁到C₂時(shí)，點(diǎn)M在線(xiàn)段M₁M₂上運(yùn)動(dòng)；
當(dāng)點(diǎn)C從C₄到C₃時(shí)，點(diǎn)M在線(xiàn)段M₄M₃上運(yùn)動(dòng)；
當(dāng)點(diǎn)D在以A為圓心，半徑為2的⊙A的左半圓上時(shí)，點(diǎn)M在圓弧M₂OM₃上運(yùn)動(dòng)；
∴點(diǎn)M隨線(xiàn)段CD運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形是圖中實(shí)線(xiàn)部分，面積為16+4π．  
②存在．
圖（4）由A（4，0），E（0，2），得

OE

OA

=

2

4

=

1

2

．
（ i）當(dāng)點(diǎn)M位于左側(cè)圓弧上時(shí)，m≤0，不合題意；
（ ii）如圖（4），當(dāng)點(diǎn)M位于線(xiàn)段M₁M₂上時(shí)，
∵M(jìn)H=2，∴只要AH=1，就有△AOE∽△MHA，
此時(shí)OH₁=5，OH₂=3．
∵點(diǎn)M為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，CD=4，
∴OH₁=5時(shí)，m=3；OH₂=3時(shí)，m=1．               
（ iii）如圖（5），當(dāng)點(diǎn)M位于右側(cè)圓弧M₁FM₄上時(shí)，連結(jié)GM，其中點(diǎn)G是圓弧的圓心，坐標(biāo)為（6，0）．
圖（5）設(shè)MH₃=x，∵AH₃＞M₃H₃
∴AH₃=2x，∴GH₃=2x-2，又GM=2，
在Rt△MGH₃中，由勾股定理得：（2x-2）²+x²=2²，
解得x1=

8

5

，x₂=0（不合題意，舍去），
此時(shí)AH3=

16

5

，OH3=OA+AH3=

36

5

，
∵點(diǎn)M為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，CD=4，∴m=

26

5

．
綜上所述，存在m=1或m=3或m=

26

5

，使得以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，點(diǎn)的坐標(biāo)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形相似由相似三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．