Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)A在x軸上，與y軸的交點(diǎn)B（0，-1），且b=-4ac。

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式

（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)A？若不存在請(qǐng)說明理由；若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出此時(shí)圓的圓心點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）A（－2，0）；（2）＝－－－１；（3）點(diǎn)C存在，點(diǎn)Ｃ的坐標(biāo)為（－10，－16）或（－2，0），點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)為（－5，－ ）或（－1，－ ）．

【解析】試題分析：

（1）把點(diǎn)B（0，-1）代入解析式可解得： ，代入可得，由點(diǎn)A是拋物線頂點(diǎn)，∴其橫坐標(biāo)為，再由點(diǎn)A在橫軸上得到其坐標(biāo)為： ；

（2）把點(diǎn)A代入解析式可得： ，結(jié)合（1）中得到的可解得，從而可得到解析式為；

（3）如圖，由題意可設(shè)符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為，作CD⊥x軸于點(diǎn)D，CF⊥y軸于點(diǎn)F，然后可在Rt△ADC、Rt△BCF和Rt△AOB中利用勾股定理把AC2、BC2和AB2分別用含“x”的式子表達(dá)出來；由點(diǎn)A在以BC為直徑的圓上，可得∠BAC=90°，從而可由勾股定理建立方程解出“x”的值，就可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)了，最后利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式就可以求出圓心P的坐標(biāo).

試題解析：

（１）把B（0，－1）坐標(biāo)

代入＝＋＋中，得＝－1,

由＝－４，得＝４，

∵A為拋物線的頂點(diǎn)，∴其橫坐標(biāo)為＝－，

∴＝－２，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（－2，0）；

（２）把點(diǎn)A的坐標(biāo)（－2，0）代入拋物線解析式中，

可得，

把＝4代入上式，得＝－，

∴＝－1，

∴拋物線的解析式為： ＝－－－１；

（３）點(diǎn)C存在．

設(shè)符合題意的點(diǎn)Ｃ坐標(biāo)為，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，作CF⊥y軸于點(diǎn)F，則在Rt△ADC、Rt△BCF和Rt△AOB中，由勾股定理分別可得： ， ， ∵點(diǎn)A在以BC為直徑的圓上，

∴∠BAC=90°，

∴，

即： =5+，

解得： ，

∴ C的坐標(biāo)為或；

因?yàn)辄c(diǎn)P是以BC為直徑的圓的圓心，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

∴由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：①當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為： ；②當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為： .