求證:一個十進制數(shù)被9除的余數(shù)等于它的各位數(shù)字之和被9除的余數(shù).
分析:根據(jù)10k≡1k=1(mod9),得出十進制數(shù)等于an×10n+an-1×10n-1+…+a1×10+a0≡an+an-1+…+a1+a0(mod9),從而得證.
解答:證明:設這個十進制數(shù)A=
,
∵10≡1(mod9),
故對任何整數(shù)k≥1,有
10
k≡1
k=1(mod9).
因此
A=
,
=a
n×10
n+a
n-1×10
n-1+…+a
1×10+a
0,
≡a
n+a
n-1+…+a
1+a
0(mod9),
即A被9除的余數(shù)等于它的各位數(shù)字之和被9除的余數(shù).
∴一個十進制數(shù)被9除的余數(shù)等于它的各位數(shù)字之和被9除的余數(shù).
點評:此題主要考查了同余問題的性質,特別地,一個數(shù)能被9整除的充要條件是它的各位數(shù)字之和能被9整除,算術中的“棄九驗算法”就是依據(jù)本題的結論.