已知方程x2+2(k-2)x+k2+4=0有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根的平方和比兩根的積大21,求k的值和方程的兩個根.
【答案】分析:先根據(jù)方程有兩個實數(shù)根判斷出k的取值范圍,設(shè)出方程的兩個實數(shù)根,再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系建立起關(guān)系式,再根據(jù)這兩個實數(shù)根的平方和比兩根的積大21可列出關(guān)于k的方程,求出k的值,再把k的值代入原方程即可解答.
解答:解:∵方程x2+2(k-2)x+k2+4=0有兩個實數(shù)根,
∴△=4(k-2)2-4(k2+4)≥0,
∴k≤0,
設(shè)方程的兩根分別為x1、x2,
∴x1+x2=-2(k-2)…①,x1•x2=k2+4…②,
∵這兩個實數(shù)根的平方和比兩根的積大21,即x12+x22=x1•x2+21,
即(x1+x2)2-3x1•x2=21,
把①、②代入得,4(k-2)2-3(k2+4)=21,
∴k=17(舍去)或k=-1,
∴k=-1,
∴原方程可化為x2-6x+5=0,
解得x1=1,x2=5.
點評:此題比較復(fù)雜,考查的是一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系,解答此題的關(guān)鍵是先判斷出k的取值范圍,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解答.