證明:(1)∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠CBD,
又BD⊥CD,AE⊥BD,
∴∠AED=∠CDB=90°,
∴△ADE∽△CBD,
∴
;
(2)過D作DF∥AB,交BC于F,
∵AD∥BC,DF∥AB,
∴四邊形ABFD為平行四邊形,
∴AB=CD=DF,∴∠DFC=∠C,
∵AD∥BC,
∴∠ADE=∠CBD,
又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AD=AB,
∴四邊形ABFD為菱形,
∴BF=DF,
∴∠DBF=∠BDF,
又∠DFC為△DFB的外角,
∴∠DFC=∠DBF+∠BDF=2∠DBF,
∴∠C=2∠DBF,又∠BDC=90°,
∴∠DBF=30°,
∴∠ABD=30°,
∴在Rt△ABE中,AE=
AB,
∴AE=
CD.
分析:(1)由AD與BC平行,根據(jù)兩直線平行得到一對內(nèi)錯角相等,由BD⊥CD,AE⊥BD,根據(jù)垂直定義得到一對直角相等,由兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似,得到三角形ADE與三角形BCD相似,由相似得比例得證;
(2)過D作DF∥AB,又AD∥BF,得到四邊形ABFD為平行四邊形,由平行得一對內(nèi)錯角相等,由角平分線得到一對角相等,等量代換得到∠ABD=∠ADB,根據(jù)“等角對等邊”得到AD=AB,故四邊形ABFD為菱形,從而得到BF=DF,根據(jù)“等邊對等角”得到∠FDB=∠FBD,由∠DFC為三角形BDF的外角,根據(jù)外角性質(zhì)得到∠DFC=2∠DBC,又由AB與DF平行得到∠DFC=∠ABC=∠C,且∠BDC為直角,故∠ABD=∠DBC=30°,在直角三角形ABE中,根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,得到AE等于AB的一半,又AB=DC,得證.
點評:此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì)以及梯形的有關(guān)知識.要求學(xué)生掌握梯形常添的四種輔助線的作法:平移腰;作兩條高;延長兩腰交于一點;平移對角線.根據(jù)實際情況靈活選用輔助線的作法.