Question

已知一次函數(shù)y=x+m（O＜m≤1）的圖象為直線l，直線l繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后得直線l′，△ABC三個頂點的坐標分別為A（-，-1）、B（，-1）、C（O，2）．
（1）求直線l′的解析式（可以含m）；
（2）如圖，l、l′分別與△ABC的兩邊交于E、F、G、H，四邊形EFGH的面積記為S，試求m與S的關(guān)系式，并求S的變化范圍；
（3）若m=1，當△ABC分別沿直線y=x與y=x平移時，判斷△ABC介于直線l，l′之間部分的面積是否改變？若不變請指出來；若改變請直接寫出面積變化的范圍．（本小題不必說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）先在直線l上取兩點，再分別得出這兩點繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后的對應(yīng)點，然后運用待定系數(shù)法即可求出l′的解析式；
（2）先運用等邊三角形的性質(zhì)求出EF、GH的長度，再根據(jù)梯形的面積公式求解；
（3）根據(jù)平移的知識可知：沿y=x平移時，面積不變；沿y=x平移時，面積改變，設(shè)其面積為S'．顯然，如果△ABC與l、l′沒有交點，則面積S′取最小值0；由于m=1時，△ABC介于直線l，l′之間的部分是一個梯形，l與l′之間的距離是1，即梯形的高是1，則當EF+GH取最大值時，S′有最大值，此時直線l與l′中有一條過點C，且F、G落在△ABC的同一邊上，可求S′=，則0≤S'≤．
解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=x+m（O＜m≤1）與x軸交于點M（-m，0），與y軸交于點N（0，m），
∴點M、N繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后的對應(yīng)點M′（m，0），與y軸交于點N（0，-m），
由題意，知M′、N′在直線l′上，
運用待定系數(shù)法易得直線l′的解析式為y=-m；

（2）∵A（-，-1）、C（O，2），∴直線AC的解析式為y=x+2，
又∵直線l的解析式為y=x+m，直線l′的解析式為y=-m，
∴l(xiāng)∥l′∥AC．
∵A（-，-1）、B（，-1）、C（O，2），
∴AB=BC=CA=2，
∴△ABC是等邊三角形．
∵當y=-1時，x+m=-1，x=，∴E（，-1），BE=-=，
當y=-1時，x-m=-1，x=，∴H（，-1），BH=-=，
∵l∥AC，△ABC是等邊三角形，∴△BEF是等邊三角形，EF=BE=，
同理，HG=BH=．
過點O作OD⊥MN于D，則2OD是梯形EFGH的高．
∵點M（-m，0），點N（0，m），∴MN=．
在△OMN中，由面積公式，得OD==m，∴2OD=m，
∴梯形EFGH的面積S=（EF+GH）•2OD=m（+）=，
∵＞0，
∴S隨m的增大而增大，
又∵0＜m≤1，
∴0＜S≤；

（3）如果△ABC沿直線y=x平移，由平移的知識可知面積不變；
如果△ABC沿直線y=x平移，面積改變，設(shè)其面積為S'，
易知S′最小值為0，S′取最大值時，直線l與l′中有一條過點C，且F、G落在△ABC的同一邊上，
如圖所示，此時求得S'=．
則0≤S'≤．
點評：此題主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的利用平移的性質(zhì)和特點再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．