Question

【題目】在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB所對的邊b，c滿足：b +c -4（b+c）+8=0.

（1）證明：△ABC是邊長為2的等邊三角形.
（2）若 b，c兩邊上的中線BD，CE交于點O，求OD：OB的值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ b2 +c2 -4（b+c）+8=0
∴ （b-2）2 +（c-2）2 =0
∵ （b-2）2 ≥0，（c-2）2 ≥0，
∴ （b-2）2 =（c-2）2 =0
∴ b=c=2
∵ ∠A=60°
∴ △ABC是邊長為2的等邊三角形

（2）解：∵ AB=BC且BD是AC邊上的中線

∴ BD⊥AC，∠DBC= ∠ABC=30°

同理∠ECB=∠ECA=30°

∴ ∠DBC=∠ECB

∴ OB=OC

由已知：BD⊥AC，∠ECA=30°，OB=OC，

∴ OB=OC=2OD

∴ OD：OB=1：2

【解析】 (1)將 b 2 +c 2 -4（b+c）+8=0變形成（b-2） 2 +（c-2） 2 =0 ，根據(jù)平方的非負性知幾個非負數(shù)的和等于0，則這幾個數(shù)都等于零，得出兩個一元一次方程，求解得出a,b的值，根據(jù)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一得出 BD⊥AC，∠DBC= ∠ABC=30°，同理∠ECB=∠ECA=30°，故 ∠DBC=∠ECB，根據(jù)等角對等邊得出OB=OC，根據(jù)含30的直角三角形的邊之間的關系得出OB=OC=2OD，從而得出 OD：OB=1：2。

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．