Question

【題目】（本題14分）如圖，已知線段AB=2，MN⊥AB于點(diǎn)M，且AM=BM，P是射線MN上一動(dòng)點(diǎn)，E，D分別是PA，PB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，M，D的圓與BP的另一交點(diǎn)C（點(diǎn)C在線段BD上），連結(jié)AC，DE．

（1）當(dāng)∠APB=28°時(shí)，求∠B和的度數(shù)；

（2）求證：AC=AB。

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

①當(dāng)MP=4時(shí)，取四邊形ACDE一邊的兩端點(diǎn)和線段MP上一點(diǎn)Q，若以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，且Q為銳角頂點(diǎn)，求所有滿足條件的MQ的值；

②記AP與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為F，將點(diǎn)F繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在MN上時(shí)，連結(jié)AG，CG，DG，EG，直接寫出△ACG和△DEG的面積之比．

Answer 1

【答案】(1) ∠B=76°，56°；(2)證明見(jiàn)解析；（3）①或或；②

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度數(shù)，再連接MD，根據(jù)MD為△PAB的中位線，可得∠MDB=∠APB=28°，進(jìn)而得到=2∠MDB=56°；

（2）根據(jù)∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，進(jìn)而得出AC=AB；

（3）①記MP與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為R，根據(jù)AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR=，MR=，再根據(jù)Q為直角三角形銳角頂點(diǎn)，分四種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠ACQ=90°時(shí)，當(dāng)∠QCD=90°時(shí)，當(dāng)∠QDC=90°時(shí)，當(dāng)∠AEQ=90°時(shí)，即可求得MQ的值為或或；

②先判定△DEG是等邊三角形，再根據(jù)GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，過(guò)C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=1=MG，即可得到CG=MH=﹣1，進(jìn)而得出S△ACG=CG×CH=，再根據(jù)S△DEG=，即可得到△ACG和△DEG的面積之比．

試題解析：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，

∴PA=PB，

∴∠PAB=∠B，

∵∠APB=28°，

∴∠B=76°，

如圖1，連接MD，

∵MD為△PAB的中位線，

∴MD∥AP，

∴∠MDB=∠APB=28°，

∴=2∠MDB=56°；

（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，

又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，

∴∠BAP=∠ACB，

∵∠BAP=∠B，

∴∠ACB=∠B，

∴AC=AB；

（3）①如圖2，記MP與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為R，

∵MD是Rt△MBP的中線，

∴DM=DP，

∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，

∴RC=RP，

∵∠ACR=∠AMR=90°，

∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，

∴12+MR2=22+PR2，

∴12+（4﹣PR）2=22+PR2，

∴PR=，

∴MR=，

Ⅰ．當(dāng)∠ACQ=90°時(shí)，AQ為圓的直徑，

∴Q與R重合，

∴MQ=MR=；

Ⅱ．如圖3，當(dāng)∠QCD=90°時(shí)，

在Rt△QCP中，PQ=2PR=，

∴MQ=；

Ⅲ．如圖4，當(dāng)∠QDC=90°時(shí)，

∵BM=1，MP=4，

∴BP=，

∴DP=BP=，

∵cos∠MPB=，

∴PQ=，

∴MQ=；

Ⅳ．如圖5，當(dāng)∠AEQ=90°時(shí)，

由對(duì)稱性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，

∴MQ=；

綜上所述，MQ的值為或或；

②△ACG和△DEG的面積之比為．

理由：如圖6，∵DM∥AF，

∴DF=AM=DE=1，

又由對(duì)稱性可得GE=GD，

∴△DEG是等邊三角形，

∴∠EDF=90°﹣60°=30°，

∴∠DEF=75°=∠MDE，

∴∠GDM=75°﹣60°=15°，

∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°，

∴GMD=∠GDM，

∴GM=GD=1，

過(guò)C作CH⊥AB于H，

由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG，AH=，

∴CG=MH=﹣1，

∴S△ACG=CG×CH=，

∵S△DEG=，

∴S△ACG：S△DEG=．