Question

如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上一動點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)， PO的延長線交BC于Q.

（1）求證：△ P O D ≌ △Q O B ；

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運(yùn)動（不與D重合）.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t秒，請用t表示PD的長；并求t為何值時，四邊形P B Q D是菱形．

Answer 1

（1）答：AB＝AH. ……………………1分

證明：延長CB至E使BE=DN，連結(jié)AE

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，

∴∠ABE=180°－∠ABC＝90°

又∵AB＝AD

∴△ABE≌△AEN（SAS）……………………3分

∴∠1＝∠2，AE=AN

∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°

∴∠1+∠3＝90°－∠MAN＝45°

∴∠2+∠3＝45°

即∠EAM=45°

又AM=AM

∴△EAM≌△NAM（SAS）……………………5分

又EM和NM是對應(yīng)邊

∴AB＝AH（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等）……………………6分

(2)作△ABD關(guān)于直線AB的對稱△ABE，作△ACD關(guān)于直線AC的對稱△ACF，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°

∴∠E＝∠F＝90°，

又∠BAC=45°

∴∠EAF=90°

延長EB、FC交于點(diǎn)G，則四邊形AEGF是矩形，

又AE=AD=AF

∴四邊形AEGF是正方形……………………8分

由（1）、（2）知：EB＝DB＝2，FC＝DC＝3

設(shè)AD＝，則EG=AE=AD=FG＝

∴BG＝－2；CG＝－3；BC＝2+3＝5

在Rt△BGC中，……………………9分

解之 得，（舍去）

∴AD的長為6…………………………………………10分