Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝20cm，CD＝25cm．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)：點(diǎn)P以3cm/s的速度沿A→D→C的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以4cm/s的速度沿A→B→C的路線運(yùn)動(dòng)，且P、Q兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C．

（1）求梯形ABCD的面積；

（2）設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），四邊形APCQ的面積為S（cm²），試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的t，使得四邊形APCQ的面積恰為梯形ABCD的面積的？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，由已知得AD＝BE，DE＝AB＝20cm．

在Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理得EC＝15cm．由題意得＝，∴＝．解得AD＝5． ∴梯形ABCD的面積＝＝＝250（cm²）．

（2）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為3t（cm），點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為4t（cm）．

①當(dāng)0＜t≤時(shí)，P在AD上運(yùn)動(dòng)，Q在AB上運(yùn)動(dòng)．

此時(shí)四邊形APCQ的面積S＝S_梯形ABCD－S_△BCQ－S_△CDP＝70t．

②當(dāng)＜t≤5時(shí)，P在DC上運(yùn)動(dòng)，Q在AB上運(yùn)動(dòng)．

此時(shí)四邊形APCQ的面積S＝S_梯形ABCD－S_△BCQ－S_△ADP＝34t＋60．

③當(dāng)5＜t＜10時(shí)，P在DC上運(yùn)動(dòng)，Q在BC上運(yùn)動(dòng)．

此時(shí)四邊形APCQ的面積S＝S_梯形ABCD－S_△ABQ－S_△ADP＝－46t＋460．

（3）①當(dāng)0＜t≤時(shí)，由S＝70t＝250×，解得t＝．

②當(dāng)＜t≤5時(shí)，由S＝34t＋60＝250×，解得t＝．

又∵＜t≤5，∴t＝不合題意，舍去．

③當(dāng)5＜t＜10時(shí)，由S＝－46t＋460＝250×，解得t＝．

    ∴當(dāng)t＝或t＝時(shí)，四邊形APCQ的面積恰為梯形ABCD的面積的．