【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC,對角線BD平分∠ABC, P是BD上一點,過點P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別為M、N.
(1)求證:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求證:四邊形MPND是正方形.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD,由全等三角形的性質(zhì)即可得到:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,由(1)中的條件可得四邊形MPND是矩形,再根據(jù)兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形.
證明:(1)∵對角線BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中
AB=CB
∠ABD=∠CBD
BD=BD
∴△ABD≌△CBD(SAS)
∴∠ADB=∠CDB
(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90,
∵∠ADC=90°,
∴四邊形MPND是矩形,
∵∠ADB=∠CDB,
∴∠ADB=45°,
∴PM=MD,
∴四邊形MPND是正方形.
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【題目】如圖,已知∠1+∠2﹦180°,∠3﹦∠B,則DE∥BC,下面是王華同學(xué)的推導(dǎo)過程﹐請你幫他在括號內(nèi)填上推導(dǎo)依據(jù)或內(nèi)容.
證明:
∵∠1+∠2﹦180(已知),
∠1﹦∠4 (_________________),
∴∠2﹢_____﹦180°.
∴EH∥AB(___________________________________).
∴∠B﹦∠EHC(________________________________).
∵∠3﹦∠B(已知)
∴ ∠3﹦∠EHC(____________________).
∴ DE∥BC(__________________________________).
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【題目】如圖:(1)當線段AB平行于投影面P時,它的正投影是線段A1B1,線段與它的投影的大小關(guān)系為AB
___A1B1;
(2)當線段AB傾斜于投影面P時,它的正投影是線段A2B2,線段與它的投影的大小關(guān)系為AB___A2B2;
(3)當線段AB垂直于投影面P時,它的正投影是______.
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【題目】把一張對面互相平行的紙條折成如圖所示那樣,EF是折痕,若∠EFB=32°則下列結(jié)論正確的有( )
(1)∠C′EF=32°(2)∠AEC=116°(3)∠BGE=64°(4)∠BFD=116°.
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】在8×8的正方形網(wǎng)格中,有一個Rt△AOB,點O是直角頂點,點O、A、B分別在網(wǎng)格中小正方形的頂點上,請按照下面要求在所給的網(wǎng)格中畫圖.
(1)在圖1中,將△AOB先向右平移3個單位,再向上平移2個單位,得到△A1O1B1,畫出平移后的△A1O1B1;(其中點A、O、B的對應(yīng)點分別為點A1,O1,B1)
(2)在圖2中,△AOB與△A2O2B2是關(guān)于點P對稱的圖形,畫出△A2O2B2,連接BA2,并直接寫出tan∠A2BO的值.(其中A,O,B的對應(yīng)點分別為點A2,O2,B2)
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【題目】眾所周知,水的污染越來越嚴重,日益影響著人類的身心健康,而人們的安全飲水意識仍有待提高.已知某品牌型號Ⅰ凈水器的市場售價為2000元/臺,型號Ⅱ凈水器的市場售價為1800元/臺.為了保護我區(qū)市民的安全飲水,推動北碚區(qū)創(chuàng)建國家級衛(wèi)生區(qū)復(fù)審工作,啟動了“安全飲水北碚行”活動,此兩種型號的凈水器可獲得13%的財政補貼.
(1)某商場在啟動活動前一個月共售出此兩種凈水器960臺,啟動活動后的第一個月型號Ⅰ和型號Ⅱ凈水器的銷量分別比上月增長30%、25%,這個月這兩種凈水器共售出1228臺.啟動活動前一個月此兩種型號的凈水器銷量各為多少臺?
(2)在啟動活動前區(qū)政府打算用25000元為天府鎮(zhèn)敬老院購買該兩種型號的凈水器,并計劃恰好全部用完此款.
①原計劃所購買的型號Ⅰ和型號Ⅱ凈水器各多少臺?
②活動啟動后,在不增加區(qū)政府實際負擔(dān)的情況下,能否多購買兩臺型號Ⅱ凈水器?
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【題目】如圖,△ABC在直角坐標系中,
(1)請寫出△ABC各點的坐標.
(2)求出△ABC的面積.
(3)若把△ABC向上平移2個單位,再向右平移2個單位得△A′B′C′,在圖中畫出△ABC變化位置。
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【題目】已知等腰直角三角板的一個銳角頂點與正方形ABCD的頂點A重合,將此三角板繞A點旋轉(zhuǎn)時,兩邊分別交直線BC,CD于點M、N.
(1)如圖①,當M、N分別在邊BC,CD上時,作AE垂直于AN,交CB的延長線于點E,求證:△ABE≌△ADN;
(2)如圖②,當M、N分別在邊CB,DC的延長線上時,求證:MN+BM=DN;
(3)如圖③,當M、N分別在邊CB,DC的延長線上時,作直線BD交直線AM、AN于P、Q兩點,若MN=10,CM=8,求AP的長.
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【題目】如圖,已知長方形OABC的頂點O在坐標原點,A、C分別在x、y軸的正半軸上,頂點B(8,6),直線y=-x+b經(jīng)過點A交BC于D、交y軸于點M,點P是AD的中點,直線OP交AB于點E
(1)求點D的坐標及直線OP的解析式;
(2)求△ODP的面積,并在直線AD上找一點N,使△AEN的面積等于△ODP的面積,請求出點N的坐標
(3)在x軸上有一點T(t,0)(5<t<8),過點T作x軸的垂線,分別交直線OE、AD于點F、G,在線段AE上是否存在一點Q,使得△FGQ為等腰直角三角形,若存在,請求出點Q的坐標及相應(yīng)的t的值;若不存在,請說明理由.
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