精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AD=,CD=1,BC=2,動點P從B點出發(fā),沿著BC方向以每秒1個單位的速度向右移動,過點P作射線BA的垂線PQ,垂足為Q.設P點移動的時間為t秒(0<t<2),△PBQ與直角梯形ABCD重疊部分的面積為S.
(1)求∠B的度數;
(2)求S關于t的函數關系式;
(3)在P點的運動過程中,設PQ與線段AD相交于點H,是否存在一個圓,使得該圓內切于梯形ABPH?若存在,求出相應的t的值;若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)首先過點A作AH⊥BC于H,根據已知得出BH,AH的長,即可得出tanB=的值,即可得出角B的度數;
(2)分別根據①如圖1,當0<t≤時,②當<t<2時,分別求出S與t的關系時即可;
(3)利用切線的性質以及三角形內切圓的性質表示出圓的半徑,進而得出即可.
解答:解:(1)過點A作AH⊥BC于H,
∵AD=,BC=2,CD=1,
∴BH=,AH=CD=1,
∵在Rt△AHB中
tanB===,
∴∠B=30°;

(2)①如圖1,當0<t≤時,
∵BP=t,PQ=,BQ=t,
∴S=×=t2
②當<t<2時,
如圖2,設PQ與線段AD交于點H,
∵BP=t,∴BQ=t,PQ=
又∵AB==2,
∴AQ=t-2,
∵AD∥BC,
∴∠QAH=∠B=30°,
∴Rt△QAH中,由勾股定理得出:
QH=t-2),
∴S=S△BQP-S△AQH
=t2-×(t-2)××(t-2)
=t2-t-2)2
=t-,
綜上所述:S=;

(3)存在;理由如下:
如圖3,設⊙O內切于梯形ABPH,
M,N,L分別是AB,PH,BP邊的切點,則⊙O的半徑r=CD=,
且BM=BL,PL=PN,
又∵⊙O也是Rt△BPQ的內切圓,
∴QM=QN,
∴四邊形QMON是正方形,
∴r==
t+-t=1,
解得:t=+1,
∴當t=+1時,存在一個圓使該圓內切于梯形ABPH.
點評:此題主要考查了圓的綜合應用以及三角形內切圓的性質和勾股定理以及銳角三角函數關系等知識,利用數形結合以及分類討論得出是解題關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,點E是AB邊上一點,AE=BC,DE⊥EC,取DC的中點F,連接AF、BF.
(1)求證:AD=BE;
(2)試判斷△ABF的形狀,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD為邊在直角梯形精英家教網ABCD外作等邊三角形ADF,點E是直角梯形ABCD內一點,且∠EAD=∠EDA=15°,連接EB、EF.
(1)求證:EB=EF;
(2)延長FE交BC于點G,點G恰好是BC的中點,若AB=6,求BC的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,且CD=2AD,tan∠ABC=2.
(1)求證:BC=CD;
(2)在邊AB上找點E,連接CE,將△BCE繞點C順時針方向旋轉90°得到△DCF.連接EF,如果EF∥BC,試畫出符合條件的大致圖形,并求出AE:EB的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•深圳二模)如圖,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60°.以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF,點E是直角梯形ABCD內一點,且∠EAD=∠EDA=15°,連接EB、EF.
(1)求證:EB=EF;
(2)若EF=6,求梯形ABCD的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

已知:如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O切DC邊于E點,AD=3cm,BC=5cm.求⊙O的面積.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案