Question

【題目】鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個(gè)菱形，余下的一個(gè)四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個(gè)菱形，又余下一個(gè)四邊形，稱為第二次操作；…依此類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準(zhǔn)菱形，如圖1，ABCD中，若AB=1，BC=2，則ABCD為1階準(zhǔn)菱形．

（1）猜想與計(jì)算：

鄰邊長(zhǎng)分別為3和5的平行四邊形是_______階準(zhǔn)菱形；已知ABCD的鄰邊長(zhǎng)分別為a，b（a＞b），滿足a=8b+r，b=5r，請(qǐng)寫出ABCD___________階準(zhǔn)菱形．

（2）操作與推理：

小明為了剪去一個(gè)菱形，進(jìn)行了如下操作：如圖2，把ABCD沿BE折疊（點(diǎn)E在AD上），使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，得到四邊形ABFE．請(qǐng)證明四邊形ABFE是菱形．

Answer 1

【答案】（1）3，12；（2）證明見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）利用平行四邊形準(zhǔn)菱形的意義即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出∠AEB=∠ABE，進(jìn)而判斷出AE=BF，即可得出結(jié)論．

試題解析：解：（1）如圖1，利用鄰邊長(zhǎng)分別為3和5的平行四邊形進(jìn)行3次操作，所剩四邊形是邊長(zhǎng)為1的菱形，故鄰邊長(zhǎng)分別為3和5的平行四邊形是3階準(zhǔn)菱形：

如圖2，∵b=5r，∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，利用鄰邊長(zhǎng)分別為41r和5r的平行四邊形進(jìn)行8+4=12次操作，所剩四邊形是邊長(zhǎng)為1的菱形，故鄰邊長(zhǎng)分別為41r和5r的平行四邊形是12階準(zhǔn)菱形：

故答案為：3，12．

（2）由折疊知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴四邊形ABFE是菱形．