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如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE.已知∠BAC=30º,EF⊥AB,垂足為F,連結(jié)DF.
(1)求證:AC=EF;
(2)求證:四邊形ADFE是平行四邊形.
【解析】由等邊△ABE和Rt△ABC,求得Rt△ABC∽Rt△EAF,即可得AC=EF,由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BDF=30°,從而證得△DBF≌△EFA,則AE=DF,再由FE=AB,得出四邊形ADFE為平行四邊形
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在某市舉辦的“讀好書,講禮儀”活動中,東華學(xué)校積極行動,各班圖書角的新書、好書不斷增多,除學(xué)校購買外,還有師生捐獻(xiàn)的圖書.下面是七年級(1)班全體同學(xué)捐獻(xiàn)圖書的情況統(tǒng)計圖:
請你根據(jù)以上統(tǒng)計圖中的信息,解答下列問題:
(1)該班有學(xué)生多少人?
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)七(1)班全體同學(xué)所捐獻(xiàn)圖書的中位數(shù)和眾數(shù)分別是多少?
【解析】(1)根據(jù)捐2本的人數(shù)是15人,占30%,即可求得總?cè)藬?shù);
(2)首先根據(jù)總?cè)藬?shù)和條形統(tǒng)計圖中各部分的人數(shù)計算捐4本的人數(shù),進(jìn)而補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義解答
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某批發(fā)商以每件50元的價格購進(jìn)800件T恤.第一個月以單價80元銷售,售出了200件;第二個月如果單價不變,預(yù)計仍可售出200件,批發(fā)商為增加銷售量,決定降價銷售,根據(jù)市場調(diào)查,單價每降低1元,可多售出10件,但最低單位應(yīng)高于購進(jìn)的價格;第二個月結(jié)束后,批發(fā)商將對剩余的T恤一次性清倉銷售,清倉時單價為40元.設(shè)第二個月單價降低x元.
(1)填表(不需要化簡)
時間 | 第一個月 | 第二個月 | 清倉時 |
單價(元) | 80 | ▲ | 40 |
銷售量(件) | 200 | ▲ | ▲ |
(2)如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元,那么第二個月的單價應(yīng)是多少元?
【解析】一元二次方程的運(yùn)用
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如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中點(diǎn).
(1)求證:△MDC是等邊三角形;
(2)將△MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn),當(dāng)MD(即MD′)與AB交于一點(diǎn)E,MC(即MC′)同時與AD交于一點(diǎn)F時,點(diǎn)E,F和點(diǎn)A構(gòu)成△AEF.試探究△AEF的周長是否存在最小值.如果不存在,請說明理由;如果存在,請計算出△AEF周長的最小值.
【解析】此題考核等邊三角形的判定,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
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如圖,已知,以為直徑,為圓心的半圓交于點(diǎn),點(diǎn)為弧CF的中點(diǎn),連接交于點(diǎn),為△ABC的角平分線,且,垂足為點(diǎn).
(1)求證:是半圓的切線;
(2)若,,求的長.
【解析】此題考核圓的切線,相似三角形的性質(zhì)
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已知:如圖1,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA四條邊上的點(diǎn)(且不與各邊頂點(diǎn)重合),設(shè)m=EF+FG+GH+HE,探索m的取值范圍.
(1)如圖2,當(dāng)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA四邊中點(diǎn)時,m=________.
(2)為了解決這個問題,小貝同學(xué)采用軸對稱的方法,如圖3,將整個圖形以CD為對稱軸翻折,接著再連續(xù)翻折兩次,從而找到解決問題的途徑,求得m的取值范圍.
①請?jiān)趫D1中補(bǔ)全小貝同學(xué)翻折后的圖形;
②m的取值范圍是____________.
【解析】本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì)和判定,全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的理解和掌握
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已知一元二次方程x2+ax+a-2=0.
(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù),此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)設(shè)a<0,當(dāng)二次函數(shù)y=x2+ax+a-2的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的距離為時,求出此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)的條件下,若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使得△PAB的面積為,若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo),若不存在請說明理由.
【解析】(1)判斷上述方程的根的情況,只要看根的判別式△=b2-4ac的值的符號就可以了,(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的距離公式解答即可.(3)是二次函數(shù)綜合應(yīng)用問題和三角形的綜合應(yīng)用
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如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn),∠B=∠DAC=45°.
(1)如圖1,當(dāng)∠C=45°時,請寫出圖中一對相等的線段;_________________
(2)如圖2,若BD=2,BA=,求AD的長及△ACD的面積.
【解析】(1)由題意知△ABC、△ABD、△ACD為等腰直角三角形,可求得,(2)利用勾股定理求得AD的長,求得AEDCGD,即可求得△ACD的面積
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巳知二次函數(shù)y=a(x2-6x+8)(a>0)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).
(1)如圖①.連接AC,將△OAC沿直線AC翻折,若點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)0'恰好落在該拋物線的對稱軸上,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)如圖②,在正方形EFGH中,點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是(4,4)、(4,3),邊HG位于邊EF的右側(cè).小林同學(xué)經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個正確的命題:“若點(diǎn)P是邊EH或邊HG上的任意一點(diǎn),則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等(即這四條線段不能構(gòu)成平行四邊形).“若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn),剛才的結(jié)論是否也成立?請你積極探索,并寫出探索過程;
(3)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對稱軸上時,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)l是大于3的常數(shù),試問:是否存在一個正數(shù)a,使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等(即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形)?請說明理由.
【解析】二次函數(shù)的綜合運(yùn)用
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