探究：如圖②，在△ABC中，∠C＝α(0°＜α＜90°)，AC＝BC，D是邊BC上一點(點D不與點B，C重合)，連接AD，將AD繞著點D逆時針旋轉α，得到DE，連接BE，求證：∠ABE＝α.

應用：設圖②中的α＝60°，AC＝2.當△ABE是直角三角形時，AE＝________．

（1）直接寫出點A，B，C關于x軸對稱的點A1，B1，C1的坐標；.

（2）在圖中作出△ABC關于y軸對稱圖形△A2B2C2．

（3）計算△ABC的面積．

【題目】如圖，平面直角坐標系中，△ABC為等邊三角形，其中點A，B，C的坐標分別為(－3，－1)，(－3，－3)，(－3＋，－2)．現以y軸為對稱軸作△ABC的對稱圖形，得△A1B1C1，再以x軸為對稱軸作△A1B1C1的對稱圖形，得△A2B2C2.

(1)直接寫出點C1，C2的坐標．

(2)能否通過一次旋轉將△ABC旋轉到△A2B2C2的位置？若能，請直接寫出所旋轉的度數；若不能，請說明理由．

(3)設當△ABC的位置發(fā)生變化時，△A2B2C2，△A1B1C1與△ABC之間的對稱關系始終保持不變．

①當△ABC向上平移多少個單位長度時，△A1B1C1與△A2B2C2完全重合？并直接寫出此時點C的坐標；

②將△ABC繞點A順時針旋轉α°(0≤α≤180)，使△A1B1C1與△A2B2C2完全重合，此時α的值為多少？點C的坐標又是什么？

（1）如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

（2）若點Q以1.5cm/s的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，則經過_____秒后，點P與點Q第一次在△ABC的AC邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程）

(1)求證：OC＝AD；

(2)求OC的長．

(1)畫出旋轉后的三角形；

(2)連接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度數．

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下五個結論：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤．當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與點A、B重合），上述結論中始終正確的序號有 ．

（1）如圖1，當點D在線段CB上，且∠BAC=90°時，那么∠DCE= 度；

（2）設∠BAC= ，∠DCE= ．

① 如圖2，當點D在線段CB上，∠BAC≠90°時，請你探究與之間的數量關系，并證明你的結論；

② 如圖3，當點D在線段CB的延長線上，∠BAC≠90°時，請將圖3補充完整，并直接寫出此時與之間的數量關系（不需證明）．

（1）求點P與點P′之間的距離；

（2）求∠APB的大�。�

（1）請你分別畫出△ABC繞點O順時針旋轉90°的圖形，關于點O對稱的圖形以及逆時針旋轉90°的圖形，并將它們涂黑；

（2）若網格中每個小正方形的邊長為1，旋轉后點A的對應點依次為A1，A2，A3，求四邊形AA1A2A3的面積；

（3）這個美麗圖案能夠說明一個著名結論的正確性，請寫出這個結論．