【題目】如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以秒的速度沿AC方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以秒的速度沿CB方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P、Q分別作邊AB的垂線段PM、QN，垂足分別為點(diǎn)M、設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，四邊形MNQP的面積為．

為何值時(shí)，為等邊三角形？

是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形MNQP的面積S等于的面積的？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

連接PN、QM交于點(diǎn)D，是否存在某一時(shí)刻t，使？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

【題目】已知P為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，在，和中，若存在一個(gè)三角形與相似全等除外那么就稱P為的共相似點(diǎn)”根據(jù)“共相似點(diǎn)“是否落在三角形的內(nèi)部，邊上或外部，可將其分為內(nèi)共相似點(diǎn)”，“邊共相似點(diǎn)或“外共相似點(diǎn)”．

據(jù)定義可知，等邊三角形______填“存在”或“不存在共相似點(diǎn)

（探究）用邊共相似點(diǎn)探究三角形的形狀

如圖1，若的一個(gè)邊共相似點(diǎn)P與其對(duì)角項(xiàng)點(diǎn)B的連線，將分割成的兩個(gè)三角形恰與原三角形均相似，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．

（探究2）用內(nèi)共相似點(diǎn)探究三角形的內(nèi)角關(guān)系

如圖2，在中，，高線CD與角平分線BE交于點(diǎn)P，若P是的一個(gè)內(nèi)共相似點(diǎn)試說(shuō)明點(diǎn)E是的邊共相似點(diǎn)，并直接寫出的度數(shù)；

（探究）探究直角三角形共相似點(diǎn)的個(gè)數(shù)

如圖3，在中，，，，若與相以，則滿足條件的P點(diǎn)共有______個(gè)

求每張門票原定的票價(jià)；

在展覽期間，平均每天可售出個(gè)人票2000張，現(xiàn)主辦方?jīng)Q定對(duì)個(gè)人購(gòu)票也采取優(yōu)惠措施，發(fā)現(xiàn)原定票價(jià)每降低2元，平均每天可多售出個(gè)人票40張，若要使平均每天的個(gè)人票收入達(dá)到241500元，且能有效控制游覽人數(shù)，則票價(jià)應(yīng)降低多少元？

【題目】如圖，中，，于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C在外部作，于點(diǎn)連接EF．

求證：≌；

判斷四邊形DCFE的形狀，并說(shuō)明理由．

【題目】已知函數(shù)．

（1）請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)的圖象，

（2）若點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，且當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．

表中a的值等于______；

估算口袋中白球的個(gè)數(shù)；

用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法計(jì)算連續(xù)兩名同學(xué)都摸出白球的概率．

【題目】某小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是　　

A. 在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”

B. 暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球

C. 擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是4

D. 擲一枚一元硬幣，落地后正面朝上

【題目】對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)和，在這里我們把叫做這兩個(gè)函數(shù)的積函數(shù)，把直線和叫做拋物線的母線．

（1）直接寫出函數(shù)和的積函數(shù)，然后寫出這個(gè)積函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）點(diǎn)P在（1）中的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P垂直于x軸的直線分別交此拋物線的母線于M、N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求時(shí)m的值．

（3）已知函數(shù)和．當(dāng)它們的積函數(shù)自變量的取值范圍是，且當(dāng)時(shí)，這個(gè)積函數(shù)的最大值是8，求n的值以及這個(gè)積函數(shù)的最小值．

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折現(xiàn)AB—BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在AB上以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，在BC上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求線段AQ的長(zhǎng)．（用含t的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)PQ與△ABC的一邊平行時(shí)，求t的值

（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，以PE、QE為鄰邊作矩形PEQF，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，連結(jié)DF．直接寫出DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1:2時(shí)t的值．

小明和小麗共同探究一道數(shù)學(xué)題：

如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∠BAD=65°，∠DAC=50°，AD=2，

求AC．

探索發(fā)現(xiàn)

小明的思路是：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD，構(gòu)造全等三角形．

小麗的思路是：過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造全等三角形．

選擇小明、小麗其中一人的方法解決問(wèn)題情境中的問(wèn)題．

類比應(yīng)用

如圖②，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，

AB⊥AC．若∠CAD=45°，∠ADC=67.5°，AO=2，則BC的長(zhǎng)為___________．