Question

17．如圖所示的連通器豎直高度為h，粗管橫截面積為S，半徑是細(xì)管的2倍，橫管長為L，粗細(xì)與細(xì)管一樣，先把體積為V的水銀（ρ_水銀）注入連通器內(nèi)，再從粗管一端灌水（ρ_水），求灌滿粗管中水銀下降高度△h的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由于粗管半徑是細(xì)管的2倍，粗管面積是細(xì)管的4倍，則細(xì)管上升的高度是粗管下降高度的$\frac{1}{4}$，先計(jì)算注入水銀后，兩管中水銀的高度h₀；
（2）粗管中注入水后，粗管中水銀下降的體積與細(xì)管中上升體積相等，由△V=Sh表示出細(xì)管上水銀上升高度，從而計(jì)算出兩管中水銀的高度差△H和注入水的高度；
（3）兩管中水銀柱高度差產(chǎn)生的壓強(qiáng)與注入水柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)相等，即p_水=p_水銀．然后我們再利用壓強(qiáng)計(jì)算公式p=ρgh，計(jì)算出灌滿后粗管中水銀下降高度△h．

解答 解：
（1）因?yàn)榇止軝M截半徑是細(xì)管的2倍，粗管橫截面積為S，則細(xì)管面積為$\frac{S}{4}$，
連通器注入同種液體，液體靜止時(shí)液面相平，注入體積為V的水銀后，設(shè)兩管中水銀高度為h₀，
則有：V_細(xì)+V_橫+V_粗=V，即：$\frac{S}{4}$•h₀+$\frac{S}{4}$•L+Sh₀=V，
解得：h₀=$\frac{4V-SL}{5S}$，
（2）粗管中注入水后，粗管中水銀下降，細(xì)管中水銀上升，
且△V_下降=△V_上升，即：S•△h=$\frac{S}{4}$•△h_細(xì)，
所以△h_細(xì)=4△h，
此時(shí)兩管中水銀高度差為△H=△h+4△h=5△h，
所以注入水的高度h_水=h-（h₀-△h）=h-（$\frac{4V-SL}{5S}$-△h）=h+△h-$\frac{4V-SL}{5S}$，
（3）水銀柱高度差產(chǎn)生的壓強(qiáng)與注入水柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)相等，即：p_水=△p_水銀，
則：ρ_水gh_水=ρ_水銀g△H，
1.0×10³kg/m³×g×（h+△h-$\frac{4V-SL}{5S}$）=13.6×10³kg/m³×g×5△h，
解得：△h=$\frac{S（5h+L）-4V}{335S}$．
答：水灌滿粗管，水銀下降高度△h的表達(dá)式為：△h=$\frac{S（5h+L）-4V}{335S}$．

點(diǎn)評 解答本題時(shí)，一定要找出題中的等量關(guān)系．本題中的等量關(guān)系有：一、粗管中水銀下降體積等于細(xì)管中水銀上升體積；二、粗管中水銀柱下降的高度與細(xì)管中水銀柱上升的高度之和等于兩管水銀柱的高度差；三、注入水柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)與兩管水銀柱高度差產(chǎn)生的壓強(qiáng)相等．還要注意粗管與細(xì)管的橫截面積關(guān)系．