Question

液壓電梯（如圖所示）是一項新枝術，在高壓油擠壓下，柱塞通過滑輪和鋼索可帶動轎箱上升或下降．當電梯里承載人的總質量為800kg、電梯勻速上升時，高壓油的壓強是 P₁；當電梯里承載人的總質量為600kg、電梯勻速下降時，高壓油的壓強是 P₂，P₁：P₂=3：2，圖中轎箱本身質量是200kg，電梯下降時裝置的機械效率是75%，電梯與側壁的擠壓始終不變，不計滑輪及柱塞的摩擦，g 取10N/kg．
求：（1）動滑輪和柱塞的總質量
（2）該液壓電梯設計的最大承載質量為1000kg，求該裝置的最大機械效率．（結果保留一位小數）

Answer 1

【答案】分析：（1）設柱塞和滑輪的總質量為m，當電梯勻速上升時，分別以轎廂和人整體、滑輪和柱塞整體為研究對象，進行受力分析；當電梯勻速下降時，分別以轎廂和人整體、滑輪和柱塞整體為研究對象，進行受力分析：
不計滑輪及柱塞的摩擦，T₁=f+G_1人+G_箱，而P₁S=2T₁+G=2（G_1人+f+G_箱）+G，則P₁=，同理得P₂=，由題知=，據此求柱塞和滑輪的總重與電梯受摩擦力的關系，
而η===75%，據此求柱塞和滑輪的總重、質量；
（2）根據題意，當電梯承載1000kg的人，且勻速下降時，裝置的機械效率最大，利用η₃==求此時機械效率．
解答：解：
（1）設柱塞和滑輪的總質量為m，
當電梯勻速上升時，分別以轎廂和人整體、滑輪和柱塞整體為研究對象，受力分析如圖1所示：
當電梯勻速下降時，分別以轎廂和人整體、滑輪和柱塞整體為研究對象，受力分析如圖2所示：
G_箱=m_箱g=200kg×10N/kg=2000N，
G_1人=m₁g=800kg×10N/kg=8000N，
G_2人=m₂g=600kg×10N/kg=6000N，
不計滑輪及柱塞的摩擦，
T₁=f+G_1人+G_箱，
P₁S=2T₁+G=2（G_1人+f+G_箱）+G=2（8000N+f+2000N）+G=20000N+2f+G
P₁=，
T₂=G_2人+G_箱-f，
P₂S=2T₂+G=2（G_2人+G_箱-f）+G=2（6000N+2000N-f）+G=16000N+G-2f，
P₂=，
∵η=====75%，
∴G=2f，
∵=，即：=3：2，
：=3：2，
解得：
G=2000N，f=1000N
m==200kg；
（2）根據題意，當電梯承載1000kg的人，且勻速下降時，裝置的機械效率最大，
G_3人=m₃g=1000kg×10N/kg=10000N，
η₃==
=
≈83.3%．
答：（1）動滑輪和柱塞的總質量為200kg；
（2）該裝置的最大機械效率83.3%．
點評：本題為力學綜合題，考查了學生對重力公式、壓強公式、效率公式的掌握和運用，知識點多，要求靈活選用公式．