Question

14．如圖所示，電源兩端電壓保持不變，當(dāng)開關(guān)S₁閉合、S₂斷開，滑動變阻器的滑片P移到A端時，電阻R₂的電功率為P₂，電流表的示數(shù)為I₁；當(dāng)開關(guān)S₁斷開、S₂閉合時，電阻R₂的電功率為P₂′，電流表的示數(shù)為I₂．已知I₁：I₂=2：3．
求：（1）電阻R₂的功率P₂與P₂′的比值；
（2）當(dāng)開關(guān)S₁、S₂都斷開，滑動變阻器的滑片P在C點(diǎn)時，變阻器接入電路的電阻為R_C，電壓表V₁的示數(shù)為U₁，電壓表V₂的示數(shù)為U₂，已知U₁：U₂=1：3，這時R₂的功率為20W，R_C的電功率為5W．則滑片P在A端與滑片P到C點(diǎn)時，變阻器連入電路電阻R_A與 R_C的比值；
（3）電路通過不同的變化，消耗的最大功率與最小功率之比．（請畫出相關(guān)電路狀態(tài)的等效電路圖）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)開關(guān)S₁閉合、S₂斷開，滑動變阻器的滑片P移到A端時，R_A和R₂串聯(lián)，電流表測量的是整個電路中的電流I₁，當(dāng)開關(guān)S₁斷開、S₂閉合時，R₁和R₂串聯(lián)，電流表測量的是整個電路中的電流I₂，已知I₁：I₂=2：3，根據(jù)P=UI=I²R求出電阻R₂的功率P₂與P₂′的比值；
（2）當(dāng)開關(guān)S₁、S₂都斷開，滑動變阻器的滑片P在C點(diǎn)時，R₁、R_C和R₂串聯(lián)，電壓表V₁測量的是R₁和R_C兩端的電壓，電壓表V₂測量的是R₂和R_C兩端的電壓，已知U₁：U₂=1：3，根據(jù)串聯(lián)電路的電流特點(diǎn)和歐姆定律表示出電壓表示數(shù)之比得出等式，根據(jù)P=I²R表示出R₂與R_C的電功率之比得出等式，在圖（1）和圖（2）中，根據(jù)電壓一定時電流與電阻成反比得出電阻關(guān)系，然后整理得出答案；
（3）因為電路兩端的總電壓保持不變，由公式P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可知，當(dāng)電路中的電阻最小時，消耗的功率最大，當(dāng)電路中的電阻最大時，消耗的功率最�。�

解答 解：（1）當(dāng)開關(guān)S₁閉合、S₂斷開，滑動變阻器的滑片P移到A端時，等效電路圖如圖（1）所示；
當(dāng)開關(guān)S₁斷開、S₂閉合時，等效電路圖如圖（2）所示：

因$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
所以，由P=I²R可得，電阻R₂的功率P₂與P₂′的比值：
$\frac{{P}_{2}}{{P}_{2}′}$=$\frac{{{I}_{1}}^{2}{R}_{2}}{{{I}_{2}}^{2}{R}_{2}}$=$\frac{{{I}_{1}}^{2}}{{{I}_{2}}^{2}}$=$\frac{{2}^{2}}{{3}^{2}}$=$\frac{4}{9}$；
（2）當(dāng)開關(guān)S₁、S₂都斷開，滑動變阻器的滑片P移到C點(diǎn)時，等效電路圖如圖（3）所示：

因串聯(lián)電路中各處的電流相等，
所以，由I=$\frac{U}{R}$可得：
$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}$=$\frac{{I}_{3}（{R}_{1}+{R}_{C}）}{{I}_{3}（{R}_{C}+{R}_{2}）}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{C}}{{R}_{C}+{R}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，
整理可得：2R_C=R₂-3R₁------------①
由P=I²R可得：
$\frac{{P}_{2}″}{{P}_{C}}$=$\frac{{{I}_{3}}^{2}{R}_{2}}{{{I}_{3}}^{2}{R}_{C}}$=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{C}}$=$\frac{20W}{5W}$=$\frac{4}{1}$，
整理可得：R₂=4R_C----------------②
在圖（1）和圖（2）中，
因電源電壓一定時，電流與總電阻成反比，
所以，$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{2}}{{R}_{A}\;+{R}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
整理可得：2R_A=R₂+3R₁---------③
由①②③可得：3R₁=2R_C，R₂=4R_C，R_A=3R_C，
則$\frac{{R}_{A}}{{R}_{C}}$=$\frac{3}{1}$；
（3）當(dāng)開關(guān)S₁、S₂都閉合時，只有R₂接入，等效電路圖如圖（4）所示，電路消耗的功率最大；
當(dāng)開關(guān)S₁、S₂都斷開，滑動變阻器的滑片P移到A端時，R₁、R₂、R_C串聯(lián)接入，等效電路圖如圖（5）所示，電路消耗的功率最小，

由P=UI=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得，電路消耗的最大功率與最小功率之比：
$\frac{{P}_{最大}}{{P}_{最小}}$=$\frac{\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}}{\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}+{R}_{A}}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{2}+\;{R}_{A}}{{R}_{2}}$=$\frac{\frac{2}{3}{R}_{C}+{4R}_{C}+{3R}_{C}\;}{{4R}_{C}}$=$\frac{23}{12}$．
答：（1）電阻R₂的功率P₂與P₂'的比值為4：9．
（2）滑片P在A端與滑片P到C點(diǎn)時，變阻器連入電路電阻R_A與 R_C的比值位3：1；
（3）電路通過不同的變化，消耗的最大功率與最小功率之比位23：12．

點(diǎn)評 本題綜合性較強(qiáng)，考查的內(nèi)容較多，可以根據(jù)開關(guān)的狀態(tài)判斷電路的連接情況，可以把復(fù)雜的電路進(jìn)行簡化，并充分理解串聯(lián)分壓這一特點(diǎn)，會用電功率公式計算，本題難點(diǎn)是，要用到電功率的變形公式：P=I²R和P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求解，需要注意的是：P=I²R和P=$\frac{{U}^{2}}{R}$這兩個公式在電功率計算題里要經(jīng)常用到．