Question

13．演繹式探究：
現在，葉子和小雨要研究有關電場強弱的問題：
（1）電場強度：
我們知道，磁體周圍存在磁場；同樣，帶電體周圍存在電場．我們用電場強度E表示電場的強弱．在電場中各點E的大小一般是不同的，E越大，表示該點電場越強．不同點E的方向也一般不同．如圖1所示，若一個小球帶的電量為q，則與其距離為r的A點處的電場強度大小E=k$\frac{q}{{r}^{2}}$（k為常數），這說明距離帶電體越遠，電場越弱．A點處E的方向如圖中箭頭所示．
（2）環(huán)形帶電體的電場強度：
如圖2所示，有一個帶電均勻的圓環(huán)，已知圓環(huán)的半徑為R，所帶的總電最為Q．過圓環(huán)中心O點作一垂直于圓環(huán)平面的直線，那么在此直線上與環(huán)心相距為x的P點處的電場強度E_P的表達式是怎樣的呢？
小雨首先把圓環(huán)均勻分割為許多等份，每一等份的圓弧長度為△l，則每一等份的電量為△L×$\frac{Q}{2πR}$；；每一等份可以看作一個帶電小球，則每一等份在P點所產生的電場強度的大小為E₁=$\frac{Q△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$，；E₁沿著OP方向的分量E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x=$\frac{kQ△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）\frac{3}{2}}$．
E_P的大小等于圓環(huán)上所有等份的E_1x大小之和，即E_P=$\frac{kQx}{（{R}^{2}+{x}^{2}）\frac{3}{2}}$．

Answer 1

分析 （1）由電場強度大小的公式直接判斷；
（2）①求出圓環(huán)的周長，再計算△L的弧上的電量；
②利用勾股定理得出點P的距離的平方，把△L的弧上的電量代入場強公式E=k$\frac{q}{{r}^{2}}$可得P點所產生的電場強度的大��；
③利用三角形余弦公式計算E₁沿著OP方向的分量E_1x；
④E_P的大小是E_P=E_1x×$\frac{2πR}{△L}$．

解答 解：（1）據題意由電場強度大小的公式E=k$\frac{q}{{r}^{2}}$可知，當r增大時E變小，所以距離帶電體越遠，電場越弱；
（2）①半徑為R的圓環(huán)的周長是2πR，圓弧長度為△L的弧上的電量為：△L×$\frac{Q}{2πR}$=$\frac{Q△L}{2πR}$；
②由勾股定理可知，△L處到點P的距離的平方：r²=R²+x²，
P點所產生的電場強度的大小為E₁=k$\frac{q}{{r}^{2}}$=k×$\frac{\frac{Q△L}{2πR}}{{R}^{2}+{x}^{2}}$=k$\frac{Q△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$…Ⅰ
③由圖2，結合數學知識，cos∠E₁PE_1x=$\frac{x}{\sqrt{{R}^{2}+{x}^{2}}}$…Ⅱ，
將Ⅰ、Ⅱ代入E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x，
得E₁沿著OP方向的分量E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x=k$\frac{Q△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$×$\frac{x}{\sqrt{{R}^{2}+{x}^{2}}}$=$\frac{kQx△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$…Ⅲ

④將Ⅲ式代入E_P=E_1x×$\frac{2πR}{△L}$，得E_P=E_1x×$\frac{2πR}{△L}$=$\frac{kQx△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$×$\frac{2πR}{△L}$=$\frac{kQx}{{{（R}^{2}+{x}^{2}）}^{\frac{3}{2}}}$．
故答案為：（1）弱；
（2）$\frac{Q△L}{2πR}$；k$\frac{Q△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$；$\frac{kQx△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$；$\frac{kQx}{{{（R}^{2}+{x}^{2}）}^{\frac{3}{2}}}$．

點評 本題是一道實驗探究題，考查學生獲取信息的能力及運用數學知識解決實際問題的能力，體現了與高中物理知識的銜接，屬于難題．