Question

13．在實際生活中電池本身是有電阻的，因此，實際的電池可以等效為一個理想電源（電壓為E恒定，電阻為0）與一個電阻r的串聯（圖甲所示）．在如圖乙所示電路中，閉合開關S，外電路的電阻（即滑動變阻器連入電路的阻值）為R，請你完成：
（1）若已知E、I、r，求電源的輸出功率P_R（即外電路電阻R的功率）；
（2）若已知E、r，請推導出電源的輸出功率P_R跟電壓表示數U之間關系的數學表達式，并據此求出電源的最大輸出功率；（滑動變阻器的最大阻值大于r）
（3）電源的效率η是指電源的輸出功率和電源總功率之比．電源的效率高意味著較小的體積或較高的可靠性，以及可以節(jié)約能源．請求出（2）中當電源的輸出功率最大時電源的效率．

Answer 1

分析 （1）根據歐姆定律與電功率公式可以求出電源的輸出功率．
（2）根據電源電壓與電源電阻消耗的電壓、外電路電壓間的關系求出電路電流，然后求出電源的輸出功率與電壓U間的關系，然后求出電源的最大輸出功率．
（3）根據電功率公式與效率公式求出電源的效率．

解答 解：（1）電源電阻r兩端電壓：U_r=Ir，
電源電壓：E=U_r+U，
電源總功率：P_總=EI=（U+U_r）I=UI+U_rI=UI+I²r，
電源輸出功率：P_R=UI=EI-I²r；
（2）電源電壓：E=U+U_r=U+Ir，
電路電流：I=$\frac{E-U}{r}$，
電源輸出功率：P_R=UI=U×$\frac{E-U}{r}$=-$\frac{（U-\frac{E}{2}）^{2}}{r}$+$\frac{{E}^{2}}{4r}$，
當U=$\frac{E}{2}$時P_R最大，為$\frac{{E}^{2}}{4r}$；
（3）電源的輸出功率最大時，U=$\frac{E}{2}$，
電源的效率：η$\frac{{P}_{R}}{P}$×100%=$\frac{UI}{EI}$×100%=$\frac{U}{E}$×100%=$\frac{\frac{E}{2}}{E}$×100%=50%；
答：（1）電源的輸出功率P_R（即外電路電阻R的功率）為EI-I²r；
（2）電源的輸出功率P_R跟電壓表示數U之間關系的數學表達式為：P_R=UI=U×$\frac{E-U}{r}$=-$\frac{（U-\frac{E}{2}）^{2}}{r}$+$\frac{{E}^{2}}{4r}$，當U=$\frac{E}{2}$時P_R最大，為$\frac{{E}^{2}}{4r}$；
（3）當電源的輸出功率最大時電源的效率為50%．

點評 本題考查串聯電路特點、歐姆定律和電功率公式應用，關鍵是公式的推導，這就要求我們利用好二次函數，有一定難度．