Question

20．在無風(fēng)的天氣里，雨滴在云層形成后，在重力作用下豎直加速下落．由于受空氣阻力，雨滴最終達(dá)到一個恒定的速度勻速落向地面，這個速度叫做終極速度．一滴重為G=2.5×10^-3N的雨滴從高空由靜止開始豎直落下，已知雨滴所受空氣阻力為f=kv²，式中k為比例系數(shù)，且k=1×10^-4N•s²/m²，v為雨滴下落的速度．
（1）該雨滴勻速下落時所受空氣阻力的方向是豎直向上，大小為2.5×10^-3N．
（2）該雨滴下落過程中，其動能和重力勢能的變化情況是B
A．動能減小，重力勢能增大     B．動能先增大后保持不變，重力勢能減小
C．動能增大，重力勢能減小     D．動能先增大后減小，重力勢能減小
（3）若f=Csv²設(shè)水的密度為ρ，水滴可以看成半徑為R的球體，水滴的體積公式為V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$．水滴的橫截面積為S=πR²，試推導(dǎo)雨滴下落的終極速度V_m=$\sqrt{\frac{4ρRg}{3C}}$（用C、ρ、g、R表示）．細(xì)心的小蘭發(fā)現(xiàn)：“瓢潑大雨”以很大的速度到達(dá)地面，而“毛毛細(xì)雨”則緩慢地飄到地面，由此可見，雨滴的終極速度與雨滴的質(zhì)量有關(guān)．

Answer 1

分析 （1）雨滴勻速下落時，受豎直向下的重力G、豎直向上的空氣阻力F_阻作用而處于平衡狀態(tài)，由平衡條件可以求出空氣阻力，其方向與雨滴運(yùn)動的方向相反；
（2）分析雨滴動能和重力勢能大小的變化，從動能和重力勢能大小的影響因素考慮．
①動能大小的影響因素：質(zhì)量、速度．質(zhì)量越大，速度越大，動能越大．
②重力勢能大小的影響因素：質(zhì)量、被舉得高度．質(zhì)量越大，高度越高，重力勢能越大．
（3）根據(jù)共點力平衡條件和題意中有關(guān)摩擦力的關(guān)系式列式求解；

解答 解：（1）雨滴勻速下落時，受到的阻力方向與其運(yùn)動方向相反，是豎直向上的；
雨滴勻速下落時，受豎直向下的重力G，
豎直向上的空氣阻力f作用而處于平衡狀態(tài)，
由平衡條件可得：f=G=2.5×10^-3N；
（2）雨滴下落時，質(zhì)量不變，高度減小，重力勢能減�。�
雨滴下落時，開始時雨滴的重力大于空氣阻力，合力向下，雨滴的速度越來越快，動能不斷增大．雨滴運(yùn)動速度不斷增大，增大到雨滴受到的空氣阻力等于雨滴的重力時，合力為零，雨滴進(jìn)行勻速直線運(yùn)動，動能不變．
所以雨滴在整個下落過程中，動能先增大后不變，重力勢能不斷減小．
故應(yīng)選B．
（3）當(dāng)f=mg時，雨點達(dá)到最終速度v_m，則Cs${v}_{m}^{2}$=mg，
根據(jù)ρ=$\frac{m}{V}$、V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$則有：Cs${v}_{m}^{2}$=$\frac{4}{3}$ρπR³g，
解得：v_m=$\sqrt{\frac{4ρRg}{3C}}$．
“瓢潑大雨”以很大的速度到達(dá)地面，而“毛毛細(xì)雨”則緩慢地飄到地面，由此可見，雨滴的終極速度與雨滴的質(zhì)量有關(guān)．
故答案為：（1）豎直向上；2.5×10^-3；（2）B；（3）$\sqrt{\frac{4ρRg}{3C}}$；質(zhì)量．

點評 本題動能和勢能的大小變化，力與運(yùn)動的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)阻力表達(dá)式和共點力平衡條件列式求解雨滴下落的終極速度．對初中學(xué)生來說，有一定難度．