Question

6．如圖所示，圓柱體甲的質(zhì)量為3.6千克，高為0.2米，密度為1.8×10³千克/米³．
①求甲的體積．
②求甲豎直放置時對水平桌面的壓強．
③現(xiàn)有一薄壁圓柱形容器乙，質(zhì)量為0.8千克．在容器乙中倒入某種液體，將甲豎直放入其中，并分別測出甲放入前后容器對水平桌面的壓強p_容、液體對容器底部的壓強p_液，如表所示．

	放入物體前	放入物體后
p容（帕）	1960	2940
p液（帕）	1568	1568

（a）求容器的底面積．
（b）求液體密度的最小值．

Answer 1

分析 ①知道甲的質(zhì)量和密度，根據(jù)V=$\frac{m}{ρ}$求出甲的體積；
②水平面上物體的壓力和自身的重力相等，根據(jù)G=mg、m=ρV、V=Sh和p=$\frac{F}{S}$求出甲豎直放置時對水平桌面的壓強；
③（a）放入物體前，液體對容器底部的壓力和液體的重力相等，容器對水平桌面的壓力等于容器和液體的重力之和，根據(jù)p=$\frac{F}{S}$表示出兩種情況下的壓強，聯(lián)立等式即可求出容器的底面積；
（b）由表格數(shù)據(jù)可知，放入物體前后液體對容器底部的壓強不變，說明原來液體充滿容器，甲放入前后容器對水平桌面的壓強不同是由于甲的重力和排開液體重力不同造成的，根據(jù)壓強公式得出等式然后分析得出答案．

解答 解：①由ρ=$\frac{m}{V}$可得，甲的體積：
V_甲=$\frac{{m}_{甲}}{{ρ}_{甲}}$=$\frac{3.6kg}{1.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=2×10^-3m³；
②因水平面上物體的壓力和自身的重力相等，
所以，甲豎直放置時對水平桌面的壓強：
p_甲=$\frac{{F}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{G}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{m}_{甲}g}{{S}_{甲}}$=$\frac{{ρ}_{甲}{V}_{甲}g}{{S}_{甲}}$=$\frac{{ρ}_{甲}{S}_{甲}{h}_{甲}g}{{S}_{甲}}$=ρ_甲gh_甲=1.8×10³kg/m³×9.8N/kg×0.2m=3528Pa；
③放入物體前，液體對容器底部的壓強：
p_液前=$\frac{{F}_{液}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{液}}{{S}_{乙}}$----------①
容器乙對水平桌面的壓強：
p_容前=$\frac{{F}_{容}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{液}+{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$-----②
由②-①可得：
p_容前-p_液前=$\frac{{G}_{液}+{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$-$\frac{{G}_{液}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{m}_{乙}g}{{S}_{乙}}$，
則S_乙=$\frac{{m}_{乙}g}{{p}_{容}-{p}_{液}}$=$\frac{0.8kg×9.8N/kg}{1960Pa-1568Pa}$=0.02m²；
（b）由表格數(shù)據(jù)可知，放入物體前后液體對容器底部的壓強不變，
則原來液體充滿容器，甲放入前后容器對水平桌面的壓強不同是由于甲的重力和排開液體重力不同造成的，
所以，放入物體前后有：
△p=p_容后-p_容前=$\frac{△F}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{甲}-{G}_{排}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{m}_{甲}g-{ρ}_{液}g{V}_{排}}{{S}_{乙}}$，
整理可得：
ρ_液=$\frac{{m}_{甲}g-△p{S}_{乙}}{g{V}_{排}}$，
當(dāng)V_排=V_甲時，液體的密度最小，
則ρ_液小=$\frac{{m}_{甲}g-△p{S}_{乙}}{g{V}_{甲}}$=$\frac{3.6kg×9.8N/kg-（2940Pa-1960Pa）×0.02{m}^{2}}{9.8N/kg×2×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=0.8×10³kg/m³．
答：①甲的體積為2×10^-3m³；
②甲豎直放置時對水平桌面的壓強為3528Pa；
③（a）求容器的底面積為0.02m²；（b）液體密度的最小值為0.8×10³kg/m³．

點評 本題考查了密度公式、重力公式和壓強公式的應(yīng)用，分析好將甲豎直放入乙容器前后壓強變化的原因是解題的關(guān)鍵．