Question

19．馬航MH370失聯(lián)后，我國(guó)政府積極參與搜救．某日，我兩艘專業(yè)救助船A、B同時(shí)收到有關(guān)可疑漂浮物的訊息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏東53.5°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正東方向140海里處．（參考數(shù)據(jù)：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．
（1）求可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離；
（2）若救助船A、救助船B分別以40海里/時(shí)、30海里/時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往搜救，試通過計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)P處．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，在Rt△APE中解出PE即可；
（2）分別求出PA、PB的長(zhǎng)，根據(jù)兩船航行速度，利用速度公式計(jì)算出兩艘船到達(dá)P點(diǎn)時(shí)各自所需要的時(shí)間，即可作出判斷．

解答 解：（1）過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，
由題意得，∠PAE=36.5°，∠PBA=45°，
設(shè)PE為x海里，則BE=PE=x海里，
AB=140海里，則AE=（140-x）海里，
在Rt△PAE中，$\frac{PE}{AE}$=tan∠PAE，
即：$\frac{x}{140-x}$=0.75，
解得：x=60，
所以，可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離約為60海里；
（2）在Rt△PBE中，PE=60海里，∠PBE=45°，
則BP=$\sqrt{2}$PE=60$\sqrt{2}$≈84.8海里，
根據(jù)v=$\frac{s}{t}$可得，B船需要的時(shí)間為：
t₁=$\frac{{s}_{1}}{{v}_{1}}$=$\frac{84.8海里}{30海里/時(shí)}$≈2.83h，
在Rt△PAE中，$\frac{PE}{AP}$=sin∠PAE，
所以，AP=$\frac{PE}{sin∠PAE}$=$\frac{60海里}{0.6}$=100海里，
根據(jù)v=$\frac{s}{t}$可得，A船需要的時(shí)間為：
t₂=$\frac{{s}_{2}}{{v}_{2}}$=$\frac{100海里}{40海里/時(shí)}$=2.5h，
計(jì)算可知，t₂＞t₁，
所以，A船先到達(dá)．
答：
（1）可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離為60海里；
（2）若救助船A、救助船B分別以40海里/時(shí)、30海里/時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往搜救，通過計(jì)算可知A船先到達(dá)P處．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，同時(shí)考查速度公式及其應(yīng)用，是一道跨學(xué)科題目，解答本題的關(guān)鍵是理解方位角的定義，能利用三角函數(shù)值計(jì)算有關(guān)線段．