Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)A在橢圓C上，|AF₁|=2，∠F₁AF₂=60°，過(guò)F₂與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，N為P，Q的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)$M（0，\frac{1}{8}）$，且MN⊥PQ，求直線MN所在的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)離心率以及由余弦定理，轉(zhuǎn)化求解橢圓C的方程．
（Ⅱ）因?yàn)橹本�PQ的斜率存在，設(shè)直線方程為y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，由韋達(dá)定理求解N，M的坐標(biāo)，MN⊥PQ，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由$e=\frac{1}{2}$，得a=2c，
因?yàn)閨AF₁|=2，|AF₂|=2a-2，
由余弦定理得$|A{F_1}{|^2}+|A{F_2}|-2|A{F_1}|•|A{F_2}|cosA=|{F_1}{F_2}{|^2}$，
解得c=1，a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）因?yàn)橹本�PQ的斜率存在，設(shè)直線方程為y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韋達(dá)定理知${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）-2k=\frac{-6k}{{3+4{k^2}}}$，
此時(shí)$N（\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，\frac{-3k}{{3+4{k^2}}}）$，又$M（0，\frac{1}{8}）$，則${k_{MN}}=\frac{{\frac{1}{8}+\frac{3k}{{3+4{k^2}}}}}{{0-\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}}}=-\frac{{24k+3+4{k^2}}}{{32{k^2}}}$，
∵M(jìn)N⊥PQ，∴${k_{MN}}=-\frac{1}{k}$，得到$k=\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
則k_MN=-2或${k_{MN}}=-\frac{2}{3}$，MN的直線方程為16x+8y-1=0或16x+24y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查計(jì)算能力．