Question

【題目】球面透鏡一般只對(duì)近軸光線才能近似地成像。對(duì)于下圖所示的彎月形透鏡，當(dāng)物點(diǎn)位于主光軸上的特殊點(diǎn)時(shí)，即使是非近軸光線，經(jīng)透鏡折射后的出射光線也均能交于同一點(diǎn)，即能理想成像。今有一彎月形透鏡，透鏡折射率為n，放置在空氣中，兩球面，和的球心分別為和，球面的半徑為。已知，物點(diǎn)Q位于點(diǎn)。試證明：

(1)從Q點(diǎn)發(fā)出的任何經(jīng)透鏡的光線（包括非近軸光線），經(jīng)透鏡折射后，出射光線都能相交于同一像點(diǎn)；

(2)。

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

解析 首先考慮面上的折射，由于物在球心處，全部入射光線無(wú)折射地通過(guò)面，所以對(duì)來(lái)說(shuō)，物點(diǎn)就在處。

再考慮到面上的折射。設(shè)入射光線與主軸的夾角為，入射點(diǎn)為P，入射角為i，折射角為r，折射線的延長(zhǎng)線與主軸的交點(diǎn)為Q（如圖乙所示），則由折射定律知

。

在中應(yīng)用正弦定理得

。

已知，由此得，

，

所以。

設(shè)CP與主軸的夾角為α，則有

。

顯然，時(shí)，a，因此出射線與主軸相交之點(diǎn)Q必在透鏡左方。

為的外角，有

。

在中應(yīng)用正弦定理，得

，。

的數(shù)值與無(wú)關(guān)，由此可見(jiàn)，所有出射線的延長(zhǎng)線都交于同一點(diǎn)，且此點(diǎn)與的距離為