Question

3、如圖4(a)所示為一種獲得高能粒子的裝置――環(huán)形加速器，環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外、大小可調(diào)節(jié)的均勻磁場(chǎng)。質(zhì)量為m、電量為+q的粒子在環(huán)中做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。A、B為兩塊中心開有小孔的極板，原來電勢(shì)都為零，每當(dāng)粒子飛經(jīng)A板時(shí)，A板電勢(shì)升高為+U，B板電勢(shì)仍保持為零，粒子在兩極板間的電場(chǎng)中得到加速。每當(dāng)粒子離開時(shí)，A板電勢(shì)又降為零，粒子在電場(chǎng)一次次加速下動(dòng)能不斷增大，而繞行半徑不變。

⑴設(shè)t=0時(shí)，粒子靜止在A板小孔處，在電場(chǎng)作用下加速，并開始繞行第一圈，求粒子繞行n圈回到A板時(shí)獲得的總動(dòng)能E_n。

⑵為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)必須周期性遞增，求粒子繞行第n圈時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n。

⑶求粒子繞行n圈所需的總時(shí)間t_n（設(shè)極板間距遠(yuǎn)小于R）。

⑷在圖4(b)中畫出A板電勢(shì)u與時(shí)間t的關(guān)系（從t=0起畫到粒子第四次離開B板）。

⑸在粒子繞行的整個(gè)過程中A板電勢(shì)是否可始終保持+U？為什么？

Answer 1

解析： ⑴因粒子每繞行一圈，其增加的能量為qU，所以，繞行第n圈時(shí)獲得總動(dòng)能為E_n = nqU

⑵由⑴可求得第n圈的速度，由，得

在磁場(chǎng)中，由牛頓定律得     即

⑶粒子始終保持做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以第一圈的時(shí)間t = 2πR/v,顯然因粒子能量不同，其速度也不同，粒子在第一圈運(yùn)動(dòng)時(shí)，有   即：

同理，粒子在第二圈運(yùn)動(dòng)時(shí)，有       即：

第n圈的速度為 

故繞行n圈所需總時(shí)間為 

即  

⑷A極電勢(shì)U隨時(shí)間t變化的圖象如圖5所示。

⑸不可以，因?yàn)檫@樣會(huì)使粒子在A、B兩極板之間飛行時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)其做正功+qU，從而使之加速，在A、B板之外（即回旋加速器內(nèi)）飛行時(shí)，電場(chǎng)又對(duì)其做負(fù)功 qU，從而使之減速。粒子繞行一周電場(chǎng)對(duì)其所做總功為零，能量不會(huì)增加。