Question

1．某種產(chǎn)品的廣告支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有如表對應(yīng)關(guān)系：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（Ⅰ） 假設(shè)y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程；
（Ⅱ） 求相關(guān)指數(shù)R²，并證明殘差變量對銷售額的影響占百分之幾？

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出x，y的平均數(shù)，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．
（Ⅱ）利用公式求出相關(guān)指數(shù)R²，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ） $\overline{x}=5$，$\overline{y}=50$；$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_j}}=1380$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=145$；-----（2分）
則：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-n\bar x\bar y}}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2-n{{\bar x}^2}}}}=\frac{1380-5×5×50}{{145-5×{5^2}}}=6.5$；$\hat a=\hat y-\hat b\overline{x}=50-6.5×5=17.5$
所以線性回歸方程為：$\hat y=6.5x+17.5$--------------------------（4分）
（Ⅱ）$\sum_{i=1}^5{（{y_i}}-{\hat y_i}{）^2}=155$，$\sum_{i=1}^5{（{y_i}}-\bar y{）^2}=1000$；--------（1分）
${R^2}=1-\frac{{\sum_{i=1}^5{{{（{y_i}-{{\hat y}_i}）}^2}}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}}$=$1-\frac{155}{1000}=0.845$．-----------------（3分）
即相關(guān)系數(shù)R²為0.845，證明殘差變量對銷售額的影響占15.5%．---（4分）

點評 本題考查回歸分析的初步應(yīng)用，考查求線性回歸方程的求法，是一個綜合題目，這種題目符合新課標(biāo)的大綱要求，是一個典型的題目．