Question

用數(shù)學歸納法證明：在楊輝三角中，第m條斜線（從左上到右下）上前n個數(shù)字的和，等于第m+1條斜線上的第n個數(shù)，即

C +C+C+…+C =C（r為第m條斜線上第一個數(shù)所在的行數(shù)）.

Answer 1

證明：對N^*中某確定的r，對n=1，2，…作數(shù)學歸納法證明.

（1）當n=1時，左邊=C+C=1+（r+1）=r+2=C=右邊，∴等式成立.

（2）假設當n=k時，等式成立，即

C+C+C+…+C=C，

則當n=k+1時，左邊=C+C+C+…+C+C=C+C=C

=C=右邊.

∴當n=k+1時等式也成立.

由（1）（2）知對于n∈N^*等式均成立.

同理對r取N^*中其他確定值時也可證明.

綜上，C+C+C+…+C=C.

點評：①用數(shù)學歸納法證明對任意的正整數(shù)n都成立必須針對確定的r.②注意組合數(shù)性質(zhì)C+C=C的使用（n≥m）.