Question

19．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=1．
（1）求曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，說明它表示什么曲線，并寫出其參數(shù)方程；
（2）過直線C₁上的點(diǎn)向曲線C₂作切線，求切線長得最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=1．根據(jù)ρ²=x²+y²可得曲線C₂的直角坐標(biāo)方程再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程．
（2）求圓心到直線的距離，利用勾股定理可得切線長的最小值．

解答 解：（1）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=1．
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為1=x²+y²．
圓心（0，0），半徑r=1．
參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$．
（2）直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；消去參數(shù)t，可得：x+y=2．
圓心到直線的距離d=$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
那么：切線長l=$\sqrt{4lrca94^{2}-{r}^{2}}=1$
∴切線長的最小值為1．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化，以及應(yīng)用，切線長的最小值問題．屬于基礎(chǔ)題．