Question

（2013•成都二模）在△ABC中，已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足

2

asin（B+

π

4

）=c
（I）求角A的大�。�，
（II）若△ABC為銳角三角形，求sinBsinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）已知等式左邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，再利用正弦定理化簡(jiǎn)，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式整理后求出tanA=1，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（II）由A的度數(shù)求出B+C的度數(shù)，表示出C代入sinBsinC中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由B及C為銳角，求出B的具體范圍，進(jìn)而得到這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出所求式子的范圍．

解答：解：（I）

2

asin（B+

π

4

）=a（sinB+cosB）=c，
由正弦定理得：sinA（sinB+cosB）=sinC=sin（A+B），
∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAsinB=cosAsinB，
∴sinA=cosA，即tanA=1，
∵A為三角形的內(nèi)角，
∴A=

π

4

；
（II）sinBsinC=sinBsin（

3π

4

-B）=

2

2

sinBcosB+

2

2

sin²B=

2

4

（sin2B-cos2B）+

2

4

=

1

2

sin（2B-

π

4

）+

2

4

，
∵0＜B＜

π

2

，0＜

3π

4

-B＜

π

2

，
∴

π

4

＜B＜

π

2

，即

π

4

＜2B-

π

4

＜

3π

4

，
則sinBsinC的取值范圍為（

2

2

，

2+ 2

4

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．