Question

已知數列滿足（為常數，）

（1）當時，求；

（2）當時，求的值；

（3）問：使恒成立的常數是否存在？并證明你的結論．

 

Answer 1

（1） （2） （3）存在常數,使恒成立．

【解析】

試題分析：假設題型中,先假設存在,然后在該假設下根據題中的已知條件去求值或證明,如果最后可得到數值或證明,則說明存在,否則不存在;分類討論．

（1）當時,根據已知條件可判斷出其符合等差數列的等差中項公式,所以知該數列是等差數列,此時根據題中所給的該數列的前兩項,可求出公差,進而利用等差數列的通項公式,求出通項．

（2）該題只是給出了數列的前兩項和一個遞推公式,而此時如果求數列的通項會相當的繁瑣,困難．觀察題目會發(fā)現,要求的是當時的第項,項數很大,所以猜想該數列的各項之間必然有一定的規(guī)律,故不妨列出數列的若干項觀察規(guī)律,會發(fā)現該數列是一個周期為6的數列．有了初步判斷之后,可以根據,找到,最終得到,從而證明開始的猜想,然后根據,可以得出結論,進而求出．

（3）首先假設存在,然后在該假設下根據題中的已知條件去求,如果最后可得到常數,則說明存在,否則不存在．根據①,可得②;根據及,可得③; 將③帶入②有④,此時①④式子含有相同的項,所以式減④式得．分別討論

或是否成立,并最終形成結論．

（1）當時,根據題意可知成立,顯然該式符合等差數列的等差中項公式,

所以該數列是等差數列,根據題意首項為,公差為,

根據差數列的通項公式可知．

（2）根據題意列出該數列的一些項,如下:

，，，，，，

，，，，，，

,

我們發(fā)現該數列為一周期為6的數列．

事實上，根據題意可知,,則有①

又因為有②

將②帶入①化簡得③；

根據③式有，

所以說明該數列是周期為6的數列．

因為，所以．

（3）假設存在常數，使恒成立．

由①,可得②，

及,可得③

將③帶入②有④

①式減④式得．

所以，或．

當，時，數列｛｝為常數數列，顯然不滿足題意．

由得，于是，

即對于，都有，

所以，從而．

所以存在常數，使恒成立．

考點：等差數列的判斷;通過列舉法猜想數列的規(guī)律,并在猜想的基礎上證明;