設(shè)x∈(0，
π
2
)，求函數(shù)y=
225
4sin2x
+
2
cosx
的最小值．
分析：先將函數(shù)y=
225
4sin2x
+
2
cosx
變形成y=
225
4sin2x
+ksin2x+
1
cosx
+
1
cosx
+kcos2x-k，然后利用基本不等式求出最值，注意等號成立的條件即可求出所求．
解答：解：因為x∈(0，
π
2
)，所以sinx＞0，cosx＞0，設(shè)k＞0，
y=
225
4sin2x
+ksin2x+
1
cosx
+
1
cosx
+kcos2x-k≥15
k
+3
3k
-k（1）
其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)
225
4sin2x
=ksin2x
1
cosx
=kcos2x
?
sin4x=
225
4k
cos3x=
1
k
?
sin2x=
15
2
k
cos2x=
1
3k2
成立，
此時
15
2
k
+
1
3k2
=1，設(shè)
1
k
=t6，則2t4+15t3-2=0．
2t4+15t3-2=2t4-t3+16t3-2=t3(2t-1)+2(2t-1)(4t2+2t+1)
=(2t-1)(t3+8t2+4t+2)
故(2t-1)(t3+8t2+4t+2)=0

注意到sin2x=
15
2
k
≤1，cos2x=
1
3k2
≤1，判斷易知滿足限制條件的根只有t=
1
2
．
當(dāng)t=
1
2
時，k=
1
t6
=64，不等式（1）取得等號．
所以函數(shù)y=
225
4sin2x
+
2
cosx
的最小值為15
64
+3
364
-64=68．
點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，以及高次方程的求解，同時考查了運算求解的能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=asinx•cosx-
3
acos2x+
3
2
a+b（a＞0）
（1）寫出函數(shù)的最小正周期和對稱軸；
（2）設(shè)x∈[0，
π
2
]，f（x）的最小值是-2，最大值是
3
，求實數(shù)a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2cos
x
2
(
3
cos
x
2
-sin
x
2
)．
（1）設(shè)x∈[0，
π
2
]，且f（x）=
3
+1，求x的值；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊的邊長為a、b、c，AB=1，f（C）=
3
+1，且△ABC的面積為
3
2
，求a+b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
asinxcosx-a（cosx）2+b（a＞0）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)x∈[0，
π
2
]，f（x）的最小值是-1，最大值是2，求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x∈(0，
π
2
)，則函數(shù)y=
1
cos2x
+
2
2
sinx
的最小值為
6
6
．

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