如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝

(Ⅰ)求證：AE∥平面DCF；

(Ⅱ)當(dāng)AB的長為何值時，二面角A－EF－C的大小為60°？

答案：
解析：

　　方法一：

　　(Ⅰ)證明：過點E作EG⊥CF并CF于G，連結(jié)DG，可得四邊形BCGE為矩形．又ABCD為矩形，

　　所以AD⊥∥EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG．

　　因為AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF．

　　(Ⅱ)解：過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連結(jié)AH．

　　由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得

　　AB⊥平面BEFC，

　　從而AH⊥EF，

　　所以∠AHB為二面角A－EF－C的平面角．

　　在Rt△EFG中，因為EG＝AD＝

　　又因為CE⊥EF，所以CF＝4，

　　從而BE＝CG＝3．

　　于是BH＝BE·sin∠BEH＝

　　因為AB＝BH·tan∠AHB，

　　所以當(dāng)AB為時，二面角A－EF－G的大小為60°．

　　方法二：

　　如圖，以點C為坐標(biāo)原點，以CB、CF和CD分別作為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz．

　　設(shè)AB＝a，BE＝b，CF＝c，

　　則C(0，0，0)，A(

　　

　　(Ⅰ)證明：

　　所以

　　所以CB⊥平面ABE．

　　因為GB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF

　　故AE∥平面DCF

　　(Ⅱ)解：因為，

　　所以，從而

　　

　　解得b＝3，c＝4．

　　所以．

　　設(shè)與平面AEF垂直，

　　則，

　　解得．

　　又因為BA⊥平面BEFC，，

　　所以，

　　得到．

　　所以當(dāng)AB為時，二面角A－EFC的大小為60°．

　　本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運算等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力．滿分14分．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=
3
，EF=2．
（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）當(dāng)AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，BE＜CF，∠BCF=
π
2
，AD=
3
，EF=2．
（I）求證：DF∥平面ABE；
（II）設(shè)
CF
CD
=λ，問：當(dāng)λ取何值時，二面角D-EF-C的大小為
π
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和矩形BCEF所在平面互相垂直，G為邊BF上一點，∠CGE=90°，AD=
3
，GE=2．
（1）求證：直線AG∥平面DCE；
（2）當(dāng)AB=
2
時，求直線AE與面ABF所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=
3
，
EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當(dāng)二面角D-EF-C的大小為45°時，求二面角A-EC-B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=
3
，EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當(dāng)二面角D-EF-B的大小為45°時，求二面角A-EC-F的大小．

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