已知分別為橢圓的上下焦點(diǎn)，其中也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn)，且.

（1）      求橢圓的方程；（5分）

（2）      已知點(diǎn)和圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩

點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn),滿足且.

   求證：點(diǎn)總在某定直線上.（7分）

 

【答案】

（1）（2）見解析

【解析】(I)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可求出c值，然后利用和拋物線的焦半徑公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)M在橢圓上，建立方程可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）      證明點(diǎn)Q總在一條直線上，就是證明點(diǎn)Q的坐標(biāo)總是滿足某條直線方程，設(shè)，由和可得四個(gè)方程，然后再結(jié)合點(diǎn)A、B都在圓上，對(duì)四個(gè)方程進(jìn)行變形求解

（1）由知，，設(shè)，因在拋物線上，故，又，則，得，而點(diǎn)

在橢圓上，有，又，所以橢圓方程為 （5分）

（2）設(shè)，由,得，即  ①     ②

由，得  ③    ,  ④ --------  （7分）

  ①③,得 , ②④,得 -----（9分）

 兩式相加得 ,又點(diǎn)在圓

 上,由(1)知,即在圓上,且,

（2）       ,即,點(diǎn)總在定直線上

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2和上下兩個(gè)頂點(diǎn)B1，B2是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點(diǎn)F2，斜率為k（k≠0）的直線與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線x=3于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為P，記直線PF2的斜率為k′．求證：k•k′為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=8x與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1有公共焦點(diǎn)F，且橢圓過點(diǎn)D（-
2
，
3
）．
（1）求橢圓方程；
（2）點(diǎn)A、B是橢圓的上下頂點(diǎn)，點(diǎn)C為右頂點(diǎn)，記過點(diǎn)A、B、C的圓為⊙M，過點(diǎn)D作⊙M的切線l，求直線l的方程；
（3）過點(diǎn)A作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于點(diǎn)P、Q，則直線PQ是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不經(jīng)過，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•德州一模）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的上下焦點(diǎn)，其F1是拋物線C2：x2=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
3
5
．
（1）試求橢圓C1的方程；
（2）與圓x2+（y+1）2=1相切的直線l：y=k（x+t）（t≠0）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)P滿足
OA
+
OB
=λ
OP
，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2012屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的上下焦點(diǎn)，其中F1也是拋物線C2：x2＝4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn)，且|MF1|＝．

(1)求橢圓C1的方程；

(2)已知點(diǎn)P(1，3)和圓O：x2＋y2＝b2，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足且λ≠±1．

求證：點(diǎn)Q總在某定直線上．

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