Question

【題目】設函數(shù)（R）．

（1）求函數(shù)在R上的最小值；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（3）若方程在上有四個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）通過換元法將函數(shù)變形為二次函數(shù)，同時利用分類討論的方法求解最大值；

（2）恒成立需要保證即可，對二次函數(shù)進行分析，根據(jù)取到最大值時的情況得到的范圍；

（3）通過條件將問題轉化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上有兩個零點求的范圍，這里將所有滿足條件的不等式列出來，求解出的范圍.

解：（1）令，，則，對稱軸為．

①，即，．

②，即，．

③，即，．

綜上可知，

（2）由題意可知，，，的圖象是開口向上的拋物線，最大值一定在端點處取得，所以有

故．

（3）令，．由題意可知，當時，有兩個不等實數(shù)解，所以原題可轉化為在內有兩個不等實數(shù)根．所以有