Question

若一系列函數的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為“同族函數”，例如函數y=x²，x∈[1，2]與函數y=x²，x∈[-2，-1]即為“同族函數”．下面函數中，解析式能夠被用來構造“同族函數”的有

①④⑤

 （填入函數對應的序號）
①y=x²-2x+3；   ②y=x³；   ③y=log₂x；   ④y=

ex+e-x

2

；   ⑤y=|2^x-1|

Answer 1

分析：由題意，能夠被用來構造“同族函數”的函數必須滿足在其定義域上不單調．由此判斷各個函數在其定義域上的單調性，即可得到①④⑤中的函數是符合題意的，而②③中的兩個函數在其定義域上是增函數，不符合題意．

解答：解：根據題意，“同族函數”需滿足：對于同一函數值，有不同的自變量與其對應．
因此，能夠被用來構造“同族函數”的函數必須滿足在其定義域上不單調．
∵函數y=x²-2x+3在（-∞，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，
∴y=x²-2x+3能夠被用來構造“同族函數”，故①正確；
∵函數y=x³在（-∞，+∞）上是增函數，
∴y=x³不能夠被用來構造“同族函數”，故②不正確；
∵函數y=log₂x在（0，+∞）上是增函數；
∴y=log₂x不能夠被用來構造“同族函數”，故③不正確；
∵函數y=

ex+e-x

2

在（-∞，0）上是減函數，在（0，+∞）上是增函數，
∴y=

ex+e-x

2

能夠被用來構造“同族函數”，故④正確；
∵函數y=|2^x-1|在（-∞，0）上是減函數，在（0，+∞）上是增函數，
∴y=|2^x-1|能夠被用來構造“同族函數”，故⑤正確．
綜上所述，能夠被用來構造“同族函數”的函數有①④⑤
故答案為：①④⑤

點評：本題給出“同族函數”的定義，要求我們判斷幾個函數能否被用來構造“同族函數”，考查了基本初等函數的單調性的知識點，屬于中檔題．