Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形且與底面ABCD垂直，∠ADC=60°且ABCD為菱形．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求異面直線PB和AD所成角的余弦值；
（3）求二面角P-AD-C的正切值．

Answer 1

解：（1）證明，取CD中點O，連OA、OP，
∵面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，
∴PO⊥面ABCD，即AO為PA在面ABCD上的射影，又在菱形ABCD中，∠ADC=60°，O為CD中點∴AO⊥CD，∴PA⊥CD．
（2）顯然∠PBC是PB和AD所成的角，其余弦值為．
（3）由O引OG⊥AD于G，連PG，則PG⊥AD，∠PGO為二面角P-AD-C為平面角，
，
即二面角P-AD-C的正切值為2．
分析：（1）取CD中點O，連OA、OP，根據(jù)面PCD⊥面ABCD，PO⊥CD，得PO⊥面ABCD，即AO為PA在面ABCD上的射影，利用AO⊥CD，證明PA⊥CD．
（2）先找出線線角∠PBC是PB和AD所成的角，進而可求；
（3）先找出二面角的平面角：由O引OG⊥AD于G，連PG，則PG⊥AD，∠PGO為二面角P-AD-C為平面角，進而可求．
點評：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及平面與平面垂直的性質和二面角及其度量，同時考查了空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，以及化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題．