Question

若方程

3

sinx+cosx=a在[0，2π]上有兩個不同的實數(shù)解x₁、x₂，求a的取值范圍，并求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：設(shè)函數(shù)y₁=

3

sinx+cosx，y₂=a，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出這兩個函數(shù)的圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解答即可．

解答：解：設(shè)f（x）=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

），x∈[0，2π]．
令x+

π

6

=t，則f（t）=2sint，且t∈[

π

6

，

13π

6

]
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=2sint及y=a的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可知
當(dāng)1＜a＜2和-2＜a＜1時，兩圖象有兩個交點，即方程

3

sinx+cosx=a在[0，2π]上有兩不同的實數(shù)解．
當(dāng)1＜a＜2時，t₁+t₂=π，
即x₁+

π

6

+x₂+

π

6

=π，
∴x₁+x₂=

2π

3

；
當(dāng)-2＜a＜1時，t₁+t₂=3π，
即x₁+

π

6

+x₂+

π

6

=3π，
∴x₁+x₂=

8π

3

．
綜上可得，a的取值范圍是（1，2）∪（-2，1）．
當(dāng)a∈（1，2）時，x₁+x₂=

2π

3

；
當(dāng)a∈（-2，1）時，x₁+x₂=

8π

3

．

點評：本題主要考查了輔助角公式在三角函數(shù)的化簡中的應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的交點的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．