Question

6．下列說法正確的是（　�。�

• A． 存在α∈（0，$\frac{π}{2}$），使sinα+cosα=$\frac{1}{3}$
• B． y=tanx在其定義域內(nèi)為增函數(shù)
• C． y=cos2x+sin（$\frac{π}{2}$-x）既有最大、最小值，又是偶函數(shù)
• D． y=sin|2x+$\frac{π}{6}$|的最小正周期為π

Answer 1

分析 用分析法可得A不正確．通過舉反例來可得B不正確．化簡函數(shù)的解析式為2（cosx+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，可得C正確．y=sin|2x+$\frac{π}{6}$|不是周期函數(shù)，故D不正確．

解答 解：要使使sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，只要 1+2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，即 sinαcosα=-$\frac{4}{9}$，
故α不可能滿足α∈（0，$\frac{π}{2}$），故A不正確．
由于當x=0 時，tanx=0，當 x=π 時，也有tanx=0，π＞0，故y=tanx在其定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故B不正確．
由于y=cos2x+sin（$\frac{π}{2}$-x）=2cos²x-1+cosx=2（cosx+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，由于cosx為偶函數(shù)，故函數(shù)y為偶函數(shù)．
當cosx=1時，y取得最大值為 $\frac{25}{8}$，當cosx=-$\frac{1}{4}$時，y取得最小值為-$\frac{9}{8}$，故C正確．
由于y=sin|2x+$\frac{π}{6}$|不是周期函數(shù)，故D不正確，
故選：C．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．