Question

已知f(x)=a1x+a2x2+…+anxn_  且a₁，a₂…a_n構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，又f（1）=n²
①求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
②證明f(

1

3

)＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：①由f（1）=n²，可得S_n=n²，再寫(xiě)一式，兩式相減，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
②利用錯(cuò)位相減法求和，即可證明結(jié)論．

解答： ①解：∵f（1）=n²，
∴S_n=n²，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
n=1時(shí)，結(jié)論也成立，
∴通項(xiàng)an=2n-1 (n∈N*)
②證明：f(

1

3

)=1•

1

3

+3•

1

9

+5•

1

27

+…+(2n-3)•

1

3n-1

+(2n-1)•

1

3n

則有

1

3

f(

1

3

)=1•

1

9

+3•

1

27

+5•

1

81

+…+(2n-3)•

1

3n

+(2n-1)

1

3n+1

兩式相減得

2

3

f(

1

3

)=1•

1

3

+2•

1

9

+2•

1

27

+…+2•

1

3n

-(2n-1)•

1

3n+1

∴f( 1 3 )= 1 2 + 1 3 + 1 9 + 1 27 +…+ 1 3n-1 -(2n-1)• 1 2•3n = 1 2 + 1 3 [1-( 1 3 )n-1] 1- 1 3 -(2n-1)• 1 2•3n = 1 2 + 1 2 - 3 2•3n - 2n-1 2•3n =1- n+1 3n

∵3ⁿ=（1+2）ⁿ＞1+2n＞1+n（n∈N^*），∴0＜

n+1

3n

＜1，
∴1-

n+1

3n

＜1，即f(

1

3

)＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查錯(cuò)位相減法，正確求出數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．