Question

過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F₁且與雙曲線的實(shí)軸垂直的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若在雙曲線虛軸所在直線上存在一點(diǎn)C，使

AC

•

BC

=0，則雙曲線離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)雙曲線的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1=1，（a＞0，b＞0），依題意知當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大，∠AOF₁≥45°，利用tan∠AOF₁=

|FA|

|OF|

=

b2 a

c

=

b2

ac

=

c2-a2

ac

≥1，即可求得雙曲線離心率e的取值范圍．

解答： 解：設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1=1，（a＞0，b＞0），
∵雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，且直線AB⊥x軸，設(shè)左焦點(diǎn)F₁（-c，0），則A（-c，

b2

a

），B（-c，-

b2

a

），
∵△ABC為直角三角形，
依題意知，當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大，
∴∠AOF₁≥45°，
∴tan∠AOF₁=

|FA|

|OF|

=

b2 a

c

=

b2

ac

=

c2-a2

ac

≥1，
整理得：（

c

a

）²-

c

a

-1≥0，即e²-e-1≥0，
解得：e≥

5 +1

2

．
即雙曲線離心率e的取值范圍為[

5 +1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，分析得到當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大是關(guān)鍵，得到∠AOF₁≥45°是突破口，屬于中檔題．