Question

 如圖，在正方體的上底面上疊放三棱柱

，該幾何體的正視圖與左視圖如右圖所示.

（Ⅰ）若，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）在（I）的條件下：

① 證明平面；

②求直線與平面所成角的正弦值

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本題主要考查三視圖，直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，推理論證能力，以及運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想

解：（Ⅰ）分別以DA、DC、DM為、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B₁

（1，1，1），A₁（1，0，1），C（0，1，0），D₁（0，0，1），M（0，0，1+），

N（0，1，1+）.

=（1，1，1），=（－1，0，）.

∵⊥，

∴·=0    －1+a=0    =1. ---------------------4分

（Ⅱ）①=（－1，1，－1），=（0，1，1），=（1，0，1）.

∵·=0， ·=0，

∴⊥， ⊥，又ND₁NB₁=N.

∴A₁C⊥平面NB₁D₁.                ----------------------------8分

②設(shè)平面A₁B₁NM的法向量為=（x、y、z），

    ·=0             y=0

·=0         x－z=0 .

          取=（1，0，1），又=（1，1，1），

cos<·>=.

設(shè)直線DB₁與平面A₁B₁NM所成角為θ，

則sinθ=sin（－<·>）

   =cos<·>=.----------------------------13分