Question

已知f（x）=ax-1nx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，研究f（x）的單調(diào)性與極值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：f（x）＞g（x）+；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值為1，令h（x）=g（x））+，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）的最小值是3，即可求解．
解答：（Ⅰ）解：f（x）=x-lnx，f′（x）= …（1分）
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增   …（3分）
∴f（x）的極小值為f（1）=1                   …（4分）
（Ⅱ）證明：∵f（x）的極小值為1，即f（x）在（0，e]上的最小值為1，
∴f（x）＞0，f（x）_min=1…（5分）
令h（x）=g（x））+=+，，…（6分）
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增  …（7分）
∴h（x）_max=h（e）=＜=1=|f（x）|_min     …（9分）
∴在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+；…（10分）
（Ⅲ）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，f′（x）=
①當(dāng)a≤0時(shí)，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=（舍去），所以，此時(shí)f（x）無最小值．…（12分）
②當(dāng)0＜＜e時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，e]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（）=1+lna=3，∴a=e²，滿足條件．…（14分）
③當(dāng)時(shí)，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，∴a=（舍去），
所以，此時(shí)f（x）無最小值．…（15分）
綜上，存在實(shí)數(shù)a=e²，使f（x）的最小值是3．…（16分）
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性．