Question

已知z⁷=1（z∈C且z≠1）.

（Ⅰ）證明1＋z＋z²＋z³＋z⁴＋z⁵＋z⁶=0；

（Ⅱ）設(shè)z的輻角為α，求cosα＋cos2α＋cos4α的值

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：解法一：z，z2，z3，…，z7是一個等比數(shù)列. ∴由等比數(shù)列求和公式可得： ∴1＋z＋z2＋z3＋…＋z6=0 解法二：S=1＋z＋z2＋…＋z6　　　　　　　　　　  ① zS=z＋z2＋z3＋…+z6＋z7　　　　　　　　　　　　　　 ② ∴①－②得（1－z）S=1－z7=0 ∴S==0 （Ⅱ）解：解法一：z7=1，z=cosα＋isinα ∴z7=cos7α＋isin7α=1，7α=2kπ z＋z2＋z4=－1－z3－z5－z6 =－1－［cos（2kπ－4α）＋isin（2kπ－4α）＋cos（2kπ－2α）＋isin（2kπ－ 2α）＋cos（2kπ－α）＋isin（2kπ－α）］ =－1－（cos4α－isin4α＋cos2α－isin2α＋cosα－isinα） ∴2（cosα＋cos2α＋cos4α）=－1， cosα＋cos2α＋cos4α=－ 解法二：z2·z5=1，z2= 同理z3=，z= ∴z＋z2＋z4=－1－－－ ∴z＋＋＋z＋＋z=－1 ∴cos2α＋cosα＋cos4α=