Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面DCE；
（Ⅱ）當(dāng)AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，由勾股定理，我們易得EF⊥CE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC⊥平面EFCB，則DC⊥EF，進而由線面垂直的判定定理得到答案．
（II）方法一（幾何法）過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH，由三垂線定理及二面角的平面角的定義，易得∠AHB為二面角A-EF-C的平面角，解Rt△CEF，即可求出二面角A-EF-C的大小為60°時，AB的長．
方法二（向量法）以點C為坐標原點，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，設(shè)AB=a，分別求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夾角公式，由二面角A-EF-C的大小為60°，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程求出a值．
解答：證明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，
∵在△FCE中，CF²=EF²+CE²，∴EF⊥CE（3分）由已知條件知，DC⊥平面EFCB，
∴DC⊥EF，又DC與EC相交于C，（5分）∴EF⊥平面DCE（6分）
解：（Ⅱ）
方法一：過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，從而AH⊥EF．
所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角．（8分）
在Rt△CEF中，因為EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=60°，由CE∥BH，得∠BHE=60°，又在Rt△BHE中，BE=3，
∴（10分）
由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，
所以當(dāng)時，二面角A-EF-C的大小為60°（13分）
方法二：如圖，以點C為坐標原點，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系C-xyz．（7分）
設(shè)AB=a（a＞0），則C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，3，0），F(xiàn)（0，4，0）．
從而，（9分）
設(shè)平面AEF的法向量為，由得，，取x=1，
則，即，（11分）
不妨設(shè)平面EFCB的法向量為，
由條件，得
解得．所以當(dāng)時，二面角A-EF-C的大小為60°．（13分）
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握線線垂直、線面垂直與面面垂直的之間的相互轉(zhuǎn)化，（II）的關(guān)鍵是建立空間坐標系，將二面角問題，轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題．